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非代码面试题
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606目标达成下注选择 6你初始财富为 5。在至多 3 轮中，每轮都可以把当前财富中的任意整数金额押在一个赢率为 3/5 的等赔率硬币上。若赢，财富增加该下注额；若输，财富减少该下注额。问第一轮下注多少，才能使得在 3 轮后财富至少达到 9 的概率最大？这个最大概率是多少？概率简单数值题未尝试免费5893推导等额赔率下的凯利下注比例你反复将当前财富的比例 f 押在一个等额赔率的赌注上，该赌注以概率 p>\tfrac12 获胜（赢则获得所押金额，输则损失所押金额）。通过最大化单轮财富乘数的期望对数，推导出增长最优的比例 f *。概率简单derivation未尝试免费5894一般赔率下的凯利下注比例一个有利的赌注的净赔率为 b 比 1：押注一定金额，以概率 p 赢得所押金额的 b 倍，以概率 1-p 损失所押金额。每轮押注财富的比例 f，请用 b 和 p 推导增长最优的比例 f *。概率简单derivation未尝试免费5895凯利下注者的最大增长率一枚等额赔率的硬币以概率 p=0.6 获胜。你每轮都押注增长最优（凯利）比例。计算由此得到的每轮最大期望对数增长率，并用 p 给出闭式表达式。概率中等数值题未尝试免费5896为何半凯利能保留四分之三的增长对于一个小优势的重复下注，期望对数增长可由二次式很好地近似：G(f)\approx f-\tfrac12 2 f 2，其中 和 2 是该赌注每轮收益的均值与方差。利用此近似，求最优比例 f *，并说明以半凯利 f=f */2 下注时保留了最大增长 G(f *) 的多少比例。概率中等derivation未尝试面试订阅5897押注至两倍凯利在重复下注期望对数增长的小优势近似 G(f)\approx f-\tfrac12 2 f 2 下，增长最优比例为 f *= / 2。在哪个（非零）下注比例处期望对数增长回落到零？这对增长关于 f * 的对称性说明了什么？概率中等数值题未尝试面试订阅5898正态收益下的连续凯利每一轮你将财富的比例 f 配置到一个头寸上，其单期收益 R 近似服从均值 >0 较小、方差为 2 的正态分布（满足 2\ll 2），故轮末财富乘以 1+fR。利用对数的二阶展开，推导增长最优比例 f *。概率中等derivation未尝试面试订阅5899用错误的概率下凯利注一枚等额赔率的硬币真实获胜概率为 p=0.55，但你高估为 p=0.65，并按你的估计所对应的凯利比例下注。你实际的每轮长期期望对数增长率是多少？将其与按正确凯利比例下注所得增长比较，并说明你实际增长的符号意味着什么。概率困难数值题未尝试面试订阅5900更高的期望收益，更低的复利增长一枚等额赔率的硬币以概率 0.6 获胜。交易员 A 始终押注财富的比例 f A=0.10；交易员 B 始终押注 f B=0.40。（i）谁的押注单轮期望（算术）利润更高？（ii）多轮之后谁的财富复利增长更快？解释这一表面冲突。概率中等数值题未尝试免费5901凯利本金翻倍的期望轮数一位赌徒每轮都在一枚获胜概率 p=0.6 的等额赔率硬币上押注凯利比例，因此对数财富是一个具有正漂移的随机游走。设 G 为每轮期望对数增长（最大凯利增长率）。利用对一个合适鞅的可选停时论证，估计财富首次翻倍所需的期望轮数。可忽略越过翻倍水平的过冲。概率困难数值题未尝试面试订阅5902在未知胜率下的凯利下注规模某硬币的获胜概率 未知，先验为 \sim Beta (2,2)。你在校准试验中观察到 7 次胜、3 次负，随后必须对下一次抛掷下一个等额赔率的赌注，选择财富比例 f 以最大化该次赌注后的期望对数财富。你应押注多少比例？为什么应代入凯利公式的是后验均值（而非后验众数）？概率中等数值题未尝试面试订阅5903限制单次赌注的回撤你在一枚获胜概率 p=0.65 的等额赔率硬币上押注财富的比例 f，但风控规则禁止任何单次输注使你的财富减少超过 20\%。你应押注多少比例？对哪些获胜概率 p，该回撤规则会实际把你约束在凯利比例以下？概率简单数值题未尝试免费5904凯利比例超过全额投入一个有利的赌注下行有限：押注财富的比例 f，以概率 p=0.7 赢得全额 f，但以概率 0.3 只损失押注的一半即 0.5f。（a）求增长最优比例 f *。（b）若你不能借贷（即 f\le 1，至多押注全部财富），你实际押注多少比例？概率简单数值题未尝试免费5905带现金储备下限的凯利你可以在一枚获胜概率 p=0.8 的等额赔率硬币上押注，但流动性规则要求你始终保留至少一半的总财富为未动用现金，因此押注比例满足 f\le 0.5。建立期望对数增长的约束最大化问题，用 KKT 条件确定最优押注，并说明储备约束是否起作用。概率困难数值题未尝试面试订阅5906多少次下注后亏损才不太可能一位在 p=0.6 等额赔率硬币上下注的凯利下注者每轮押注最优比例 f *=0.2。每轮对数收益以概率 0.6 为 +\ln 1.2、以概率 0.4 为 \ln 0.8，均值 G\approx0.0201，方差 v\approx0.0395。利用切比雪夫不等式，求一个轮数 n，使得 n 轮后财富低于起始值的概率至多为 5\%。概率困难数值题未尝试面试订阅5907带比例交易成本的凯利在一枚获胜概率为 p 的等额赔率硬币上，每轮无论结果如何都要对押注金额支付比例成本 c。故押注比例 f 时，赢使财富乘以 1+f(1-c)，输使其乘以 1-f(1+c)。请用 p 与 c 推导增长最优比例 f *，在 p=0.6,\ c=0.05 时求值，并求出最优押注降为零的成本水平。概率困难数值题未尝试面试订阅5908在庄家优势下达到目标你持有 3 枚筹码，每轮在一个等额赔率的游戏上押注一枚筹码，你以概率 p=0.4 获胜（以概率 0.6 失败）。你持续游戏，直到达到 5 枚筹码（兑现）或归零（破产）。你在破产之前达到 5 枚筹码的概率是多少？概率中等数值题未尝试免费5909大胆下注冲向翻四倍的目标你有 \2，想在一个你以概率 p=0.4 获胜的等额赔率游戏上达到 \8。你采用大胆策略：每轮押注在不超过目标前提下尽可能多的金额，即 \min( 当前财富 ,\ 8- 当前财富 )。大胆策略达到 \8 目标的概率是多少？概率中等数值题未尝试免费5910轮盘上的倍投（马丁格尔）系统在轮盘押红的等额赔率赌注上，你以概率 18/38 获胜、以概率 20/38 失败。你运行倍投（马丁格尔）系统，目标赢 \1：押 \1；若输，押 \2；若再输，押 \4。你在一次获胜后或连输三次后停止（此时你的 \7 本金耗尽）。求 (a) 此轮以破产结束的概率，(b) 此轮的期望净利润。概率中等数值题未尝试面试订阅5911在优势吃掉你之前你能玩多久你以 \2 开始，每轮在一个你以概率 p=0.4 获胜的等额赔率游戏上押注 \1。你持续游戏直到达到 \5 或破产。游戏结束前你预期玩多少轮？概率困难数值题未尝试面试订阅