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非代码面试题
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5899用错误的概率下凯利注一枚等额赔率的硬币真实获胜概率为 p=0.55，但你高估为 p=0.65，并按你的估计所对应的凯利比例下注。你实际的每轮长期期望对数增长率是多少？将其与按正确凯利比例下注所得增长比较，并说明你实际增长的符号意味着什么。概率困难数值题未尝试面试订阅5900更高的期望收益，更低的复利增长一枚等额赔率的硬币以概率 0.6 获胜。交易员 A 始终押注财富的比例 f A=0.10；交易员 B 始终押注 f B=0.40。（i）谁的押注单轮期望（算术）利润更高？（ii）多轮之后谁的财富复利增长更快？解释这一表面冲突。概率中等数值题未尝试免费5901凯利本金翻倍的期望轮数一位赌徒每轮都在一枚获胜概率 p=0.6 的等额赔率硬币上押注凯利比例，因此对数财富是一个具有正漂移的随机游走。设 G 为每轮期望对数增长（最大凯利增长率）。利用对一个合适鞅的可选停时论证，估计财富首次翻倍所需的期望轮数。可忽略越过翻倍水平的过冲。概率困难数值题未尝试面试订阅5902在未知胜率下的凯利下注规模某硬币的获胜概率 未知，先验为 \sim Beta (2,2)。你在校准试验中观察到 7 次胜、3 次负，随后必须对下一次抛掷下一个等额赔率的赌注，选择财富比例 f 以最大化该次赌注后的期望对数财富。你应押注多少比例？为什么应代入凯利公式的是后验均值（而非后验众数）？概率中等数值题未尝试面试订阅5903限制单次赌注的回撤你在一枚获胜概率 p=0.65 的等额赔率硬币上押注财富的比例 f，但风控规则禁止任何单次输注使你的财富减少超过 20\%。你应押注多少比例？对哪些获胜概率 p，该回撤规则会实际把你约束在凯利比例以下？概率简单数值题未尝试免费5904凯利比例超过全额投入一个有利的赌注下行有限：押注财富的比例 f，以概率 p=0.7 赢得全额 f，但以概率 0.3 只损失押注的一半即 0.5f。（a）求增长最优比例 f *。（b）若你不能借贷（即 f\le 1，至多押注全部财富），你实际押注多少比例？概率简单数值题未尝试免费5905带现金储备下限的凯利你可以在一枚获胜概率 p=0.8 的等额赔率硬币上押注，但流动性规则要求你始终保留至少一半的总财富为未动用现金，因此押注比例满足 f\le 0.5。建立期望对数增长的约束最大化问题，用 KKT 条件确定最优押注，并说明储备约束是否起作用。概率困难数值题未尝试面试订阅5906多少次下注后亏损才不太可能一位在 p=0.6 等额赔率硬币上下注的凯利下注者每轮押注最优比例 f *=0.2。每轮对数收益以概率 0.6 为 +\ln 1.2、以概率 0.4 为 \ln 0.8，均值 G\approx0.0201，方差 v\approx0.0395。利用切比雪夫不等式，求一个轮数 n，使得 n 轮后财富低于起始值的概率至多为 5\%。概率困难数值题未尝试面试订阅5907带比例交易成本的凯利在一枚获胜概率为 p 的等额赔率硬币上，每轮无论结果如何都要对押注金额支付比例成本 c。故押注比例 f 时，赢使财富乘以 1+f(1-c)，输使其乘以 1-f(1+c)。请用 p 与 c 推导增长最优比例 f *，在 p=0.6,\ c=0.05 时求值，并求出最优押注降为零的成本水平。概率困难数值题未尝试面试订阅5908在庄家优势下达到目标你持有 3 枚筹码，每轮在一个等额赔率的游戏上押注一枚筹码，你以概率 p=0.4 获胜（以概率 0.6 失败）。你持续游戏，直到达到 5 枚筹码（兑现）或归零（破产）。你在破产之前达到 5 枚筹码的概率是多少？概率中等数值题未尝试免费5909大胆下注冲向翻四倍的目标你有 \2，想在一个你以概率 p=0.4 获胜的等额赔率游戏上达到 \8。你采用大胆策略：每轮押注在不超过目标前提下尽可能多的金额，即 \min( 当前财富 ,\ 8- 当前财富 )。大胆策略达到 \8 目标的概率是多少？概率中等数值题未尝试免费5910轮盘上的倍投（马丁格尔）系统在轮盘押红的等额赔率赌注上，你以概率 18/38 获胜、以概率 20/38 失败。你运行倍投（马丁格尔）系统，目标赢 \1：押 \1；若输，押 \2；若再输，押 \4。你在一次获胜后或连输三次后停止（此时你的 \7 本金耗尽）。求 (a) 此轮以破产结束的概率，(b) 此轮的期望净利润。概率中等数值题未尝试面试订阅5911在优势吃掉你之前你能玩多久你以 \2 开始，每轮在一个你以概率 p=0.4 获胜的等额赔率游戏上押注 \1。你持续游戏直到达到 \5 或破产。游戏结束前你预期玩多少轮？概率困难数值题未尝试面试订阅5912全押还是分注以翻倍你有 \1，想在一个以概率 p=0.45 获胜的次公平等额赔率赌注上翻倍到 \2（一旦达到 \2 或归零便永久退出）。比较两种方案：(A) 一次性全押 \1；(B) 每轮押 \0.50 直到达到 \2 或破产。哪种翻倍概率更高，两个概率各是多少？概率困难数值题未尝试面试订阅5913在有利游戏中最小化破产你有 2 枚筹码，玩一个你以概率 p=0.6 获胜的有利等额赔率游戏，打算永远玩下去（无兑现目标），并以整枚筹码下注。为最小化最终破产的机会，你每轮押注最小的 1 枚筹码。在这种最小注（保守）策略下，你最终被破产的概率是多少？概率中等数值题未尝试免费5914红黑游戏从四分之三处的大胆下注在红黑游戏中你押注一个以概率 p=0.4 出现的等额赔率结果，将所有金额缩放使目标为 \1。你当前持有 \0.75，采用大胆策略：每轮押注 \min( 当前 ,\ 1- 当前 )，力图在达到 \0 之前达到 \1。大胆策略达到目标的概率是多少？概率中等数值题未尝试面试订阅5915保守对大胆以翻四倍你以 \1 开始，想在一个你以概率 p=0.4 获胜的等额赔率游戏上达到 \4，达到 \4 或破产时退出。计算在 (A) 保守策略（每轮押 \1）与 (B) 大胆策略（押注 \min( 当前 ,\ 4- 当前 )）下达到 \4 的概率。哪种策略达到目标的机会更高？概率困难数值题未尝试面试订阅5916为一次完美测试最多愿意付多少某产品上线在市场接受时收益 +30，不接受时收益 -12；接受的先验概率为 3 10 。你也可以选择搁置产品，收益为 0。一位顾问提供一项完全准确的测试，可在你决策前揭示真实市场状态。你最多应为这项测试支付多少？概率中等derivation未尝试免费5917猜哪箱更大前免费看一箱两个箱子各自独立地装有从 \ 1,2,3,4\ 中均匀抽取的金额。你必须猜哪个箱子装的金额严格更大；猜对得 1，平局或猜错得 0。在猜测前，你可以免费查看其中一个箱子（自选）的内容。与盲猜相比，这次查看使你猜对的概率提高了多少？概率简单derivation未尝试免费5918用不完美检测器检查次品批次某批次为次品的先验概率为 \frac14。接受良品批次收益 +20；接受次品批次收益 -40；拒收收益 0。决策前可运行一个会标记“次品”的检测器：对真正次品标记概率为 9 10 ，对良品误标记概率为 \frac15。运行该检测器的信息价值（最优使用带来的期望收益提升）是多少？概率困难derivation未尝试面试订阅