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非代码面试题
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244通过变量替换推导标准正态平方的分布设 X \sim N(0,1)。 (a) 变换 Y = X 2 不是单调的。用 CDF 方法，先计算 F Y(y) = P(X 2 y)，再求导得到 f Y(y)。 (b) 用非单调变量替换公式验证结果：当 Y = g(X) 有两个分支 x 1(y), x 2(y) 时，f Y(y) = \sum i=1 2 f X(x i(y)) |dx i/dy|。 (c) 辨认所得分布，并表示为 Gamma 分布。概率困难derivation未尝试免费245正态分布的最大熵性质连续随机变量 X（PDF 为 f）的微分熵为 h(X) = -\int - f(x) \ln f(x)\, dx。 (a) 在所有均值为 、方差为 2 的 R 上连续分布中，用拉格朗日乘数法说明最大化 h(X) 的 PDF 满足 \ln f(x) = -1 + \lambda 0 + \lambda 1 x + \lambda 2 x 2。 (b) 利用三个约束条件确定 \lambda 0, \lambda 1, \lambda 2，证明 f 为 N( , 2) 的 PDF。 (c) 计算 X \sim N( , 2) 的 h(X)。概率困难derivation未尝试免费246由独立正态推导瑞利分布设 X 和 Y 独立，均服从 N(0, 2)。定义 R = X 2 + Y 2 。 (a) 用 CDF 方法推导 R 在 r 0 上的 PDF。 (b) 指出该分布的名称并计算 E[R]。 (c) 当 = 1 时，数值计算 E[R] 和 Var (R)。概率简单derivation未尝试免费249均匀分布的顺序统计量：最小值、最大值与极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量，X (1) 为最小值，X (n) 为最大值。 (a) 推导 X (1) 和 X (n) 的 PDF。 (b) 计算 E[X (1) ] 和 E[X (n) ]。 (c) 极差 W = X (n) - X (1) ，当 n = 5 时计算 E[W]。概率中等数值题未尝试免费250折叠正态分布：|X| 的 PDF 与矩设 X \sim N( , 2)， 0。定义 Y = |X|。 (a) 推导 Y 在 y 0 上的 PDF。 (b) 证明 = 0 时 PDF 化简为半正态分布。 (c) 对一般的 , ，用 \phi 和 \Phi 表示 E[Y] 和 Var (Y)。 (d) 当 = 1， = 1 时数值计算 E[Y] 和 Var (Y)。概率困难derivation未尝试免费359连续混合参数下的塔性质设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U=u，X \sim Geometric (u)（首次成功的试验次数，P(X = k \mid U = u) = (1-u) k-1 u）。利用塔性质求 E[X]。概率中等数值题未尝试免费378两个独立均匀变量之和的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用卷积公式推导 Z = X + Y 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费379两个指数变量最大值的分布与期望设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 M = \max(X,Y)。 (a) 推导 M 的概率密度函数。 (b) 计算 E[M]。概率中等数值题未尝试免费380两个独立指数变量之比的分布设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 R = X/Y。 (a) 利用变换 (R,S) = (X/Y,\,Y)，通过雅可比行列式求 f R,S ，再对 S 积分得到 R 的 PDF。 (b) 将 f R 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 P(R \le 1)。概率困难derivation未尝试免费382标准正态变量的平方服从卡方(1)分布设 X \sim N(0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 2 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费383指数变量的倒数变换设 X \sim Exp (1)，令 Y = \dfrac 1 1+X 。 (a) 利用换元公式推导 Y 的概率密度函数。 (b) 计算 E[Y]。概率中等derivation未尝试免费384两个独立均匀变量乘积的分布设 X 和 Y 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。利用变换 (W,V)=(XY,\,Y)，推导 W = XY 的概率密度函数。概率中等derivation未尝试免费385Box-Muller 变换：从均匀到独立正态设 U 1, U 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，定义 Z 1 = -2\ln U 1 \,\cos(2 U 2),\quad Z 2 = -2\ln U 1 \,\sin(2 U 2). (a) 计算从 (Z 1,Z 2) 到 (U 1,U 2) 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 Z 1 和 Z 2 是独立的 N(0,1) 随机变量。概率困难derivation未尝试免费389独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布设 X \sim Gamma ( ,1)，Y \sim Gamma ( ,1) 独立。利用变换 (W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)： (a) 计算逆变换的雅可比行列式。 (b) 推导联合密度 f W,S 并对 S 积分，证明 W \sim Beta ( , )。 (c) 证明 W 与 S 独立。概率困难derivation未尝试免费393两个标准正态平方和的分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)，R = X 1 2 + X 2 2。 (a) 利用极坐标推导 (R, \Theta) 的联合密度。 (b) 对 \Theta 积分，求 R 的密度并识别其分布。概率中等multi part未尝试免费394独立标准正态之比服从柯西分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)。利用变换 (Y,V)=(X 1/X 2, X 2)： (a) 推导联合密度 f Y,V (y,v)。 (b) 对 V 积分，求 Y=X 1/X 2 的边际密度并识别分布。概率困难derivation未尝试免费395正态的指数：对数正态分布设 X \sim N( , 2)，Y = e X。 (a) 利用换元公式推导 Y 的 PDF。 (b) 利用正态 MGF 计算 E[Y] 和 Var (Y)。 (c) 证明 Y 的中位数为 e ，并解释为何 >0 时 E[Y]> 中位数。概率困难multi part未尝试免费400由卡方变量推导 Fisher F 分布设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立，F = (X/m)/(Y/n)。 (a) 利用变换 (F,W)=(nX/(mY), Y)，计算雅可比并推导联合密度。 (b) 对 W 积分得 F 的边际 PDF，验证为 F(m,n) 分布。 (c) 证明 E[F] = n/(n-2)（n>2）。概率困难multi part未尝试免费402指数随机变量最小值的分布设 X 1, \ldots, X n 为独立的 Exp ( ) 随机变量。推导 X (1) = \min(X 1, \ldots, X n) 的分布。概率简单derivation未尝试免费404均匀顺序统计量的期望极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量。极差定义为 R = X (n) - X (1) 。推导 E[R] 关于 n 的封闭表达式。概率中等derivation未尝试免费