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非代码面试题
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385Box-Muller 变换：从均匀到独立正态设 U 1, U 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，定义 Z 1 = -2\ln U 1 \,\cos(2 U 2),\quad Z 2 = -2\ln U 1 \,\sin(2 U 2). (a) 计算从 (Z 1,Z 2) 到 (U 1,U 2) 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 Z 1 和 Z 2 是独立的 N(0,1) 随机变量。概率困难derivation未尝试免费386正态随机变量的仿射变换设 X \sim N( , 2)，a 0，b \in R 。利用雅可比公式证明 Y = aX + b 服从正态分布，并给出其参数。概率简单derivation未尝试免费387概率积分变换（逆 CDF 方法）设 F X 为连续严格递增的 CDF，U \sim Uniform (0,1)。证明 Y = F X -1 (U) 的 CDF 为 F X。 反之，证明若 X 的 CDF 为 F X，则 F X(X) \sim Uniform (0,1)。概率简单derivation未尝试免费388Beta 变量的比值变换得到 Beta prime 分布设 X \sim Beta (a,b)，a,b>0。利用换元公式推导 Y = X/(1-X) 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费389独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布设 X \sim Gamma ( ,1)，Y \sim Gamma ( ,1) 独立。利用变换 (W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)： (a) 计算逆变换的雅可比行列式。 (b) 推导联合密度 f W,S 并对 S 积分，证明 W \sim Beta ( , )。 (c) 证明 W 与 S 独立。概率困难derivation未尝试免费390多元正态的线性变换（矩生成函数法）设 X \sim N(\boldsymbol , \boldsymbol \Sigma ) 为 p 维正态随机向量， A 为 m p 常数矩阵。利用矩生成函数证明 Z = A X 服从多元正态分布，并给出其均值向量和协方差矩阵。概率困难derivation未尝试免费391指数随机变量的平方根设 X \sim Exp (1)。利用换元公式推导 Y = X 的概率密度函数，并识别所得分布。概率简单derivation未尝试免费392均匀变量的正切变换得到柯西分布设 X \sim Uniform (- /2, /2)。利用换元公式推导 Y = \tan(X) 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费393两个标准正态平方和的分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)，R = X 1 2 + X 2 2。 (a) 利用极坐标推导 (R, \Theta) 的联合密度。 (b) 对 \Theta 积分，求 R 的密度并识别其分布。概率中等multi part未尝试免费394独立标准正态之比服从柯西分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)。利用变换 (Y,V)=(X 1/X 2, X 2)： (a) 推导联合密度 f Y,V (y,v)。 (b) 对 V 积分，求 Y=X 1/X 2 的边际密度并识别分布。概率困难derivation未尝试免费395正态的指数：对数正态分布设 X \sim N( , 2)，Y = e X。 (a) 利用换元公式推导 Y 的 PDF。 (b) 利用正态 MGF 计算 E[Y] 和 Var (Y)。 (c) 证明 Y 的中位数为 e ，并解释为何 >0 时 E[Y]> 中位数。概率困难multi part未尝试免费396n 个均匀随机变量最大值的分布设 X 1,\ldots,X n \sim iid Uniform (0,1)。推导 M = \max(X 1,\ldots,X n) 的 CDF 和 PDF。概率简单derivation未尝试免费397均匀随机变量的倒数设 X \sim Uniform (0,1)。利用换元公式推导 Y = 1/X 的 PDF。判断 E[Y] 是否有限。概率简单derivation未尝试免费398卡方分布的可加性（MGF 证明）设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立。利用矩生成函数证明 X+Y \sim \chi 2(m+n)。概率中等derivation未尝试免费399标准正态的绝对值：半正态分布设 X \sim N(0,1)，Y = |X|。 (a) 利用 CDF 方法推导 Y 的 PDF（注意 |X| 不是单调函数）。 (b) 计算 E[Y] 和 Var (Y)。概率中等multi part未尝试免费400由卡方变量推导 Fisher F 分布设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立，F = (X/m)/(Y/n)。 (a) 利用变换 (F,W)=(nX/(mY), Y)，计算雅可比并推导联合密度。 (b) 对 W 积分得 F 的边际 PDF，验证为 F(m,n) 分布。 (c) 证明 E[F] = n/(n-2)（n>2）。概率困难multi part未尝试免费402指数随机变量最小值的分布设 X 1, \ldots, X n 为独立的 Exp ( ) 随机变量。推导 X (1) = \min(X 1, \ldots, X n) 的分布。概率简单derivation未尝试免费404均匀顺序统计量的期望极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量。极差定义为 R = X (n) - X (1) 。推导 E[R] 关于 n 的封闭表达式。概率中等derivation未尝试免费405极值的联合分布与极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。令 X (1) = \min i X i，X (n) = \max i X i。概率困难multi part未尝试面试订阅406五个均匀分布的第二顺序统计量设 X 1, \ldots, X 5 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，X (2) 表示第二小的值。求 E[X (2) ]。概率简单数值题未尝试免费