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非代码面试题
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232两个独立指数随机变量之和的卷积推导设 X 1, X 2 独立，均服从 Exponential ( )。利用卷积公式推导 Y = X 1 + X 2 的 PDF，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费233对数正态分布的均值与方差设 X 为对数正态随机变量，即 \ln X \sim N( , 2)。利用正态分布的矩生成函数，推导 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费235从第一性原理推导卡方分布设 Z 1, \ldots, Z n 为 i.i.d. N(0,1) 随机变量，定义 Q = \sum i=1 n Z i 2。 (a) 利用连续随机变量的变量替换法，推导 Z 1 2 的 PDF。 (b) 将 (a) 的结果与 Gamma 族匹配，证明 Z 1 2 \sim Gamma ( 1 2 , 1 2 )。 (c) 利用相同速率参数的独立 Gamma 随机变量之和仍为 Gamma 的性质，写出 Q 的分布。 (d) 推导 E[Q] 和 Var (Q)。概率困难derivation未尝试免费236威布尔分布的中位数威布尔分布的形状参数 k > 0、尺度参数 > 0，其 CDF 为 F(x) = 1 - e -(x/ ) k , \quad x 0. (a) 推导该分布中位数的解析表达式。 (b) 当 k = 2， = 3 时，计算中位数。概率简单数值题未尝试免费237通过积分推导 Gamma 分布的均值与方差设 X \sim Gamma ( , )，其 PDF 为 f(x) = \Gamma( ) x -1 e - x （x > 0）。 (a) 利用 \int 0 \Gamma( ) x -1 e - x \,dx = 1 的事实，通过直接积分推导 E[X]。 (b) 类似地推导 E[X 2] 并计算 Var (X)。概率简单derivation未尝试免费238柯西分布均值的不存在性标准柯西分布的 PDF 为 f(x) = 1 (1 + x 2) ，x \in (- , )。 (a) 证明 E[|X|] 不存在：即证明 \int 0 x (1+x 2) \,dx 发散。 (b) 这对 X i i.i.d. 柯西时样本均值 X n = 1 n \sum i=1 n X i 的大数定律有何影响？概率中等derivation未尝试免费239两个独立标准正态之比服从柯西分布设 Z 1, Z 2 独立，均服从 N(0,1)。定义 R = Z 1/Z 2。 (a) 写出 (Z 1, Z 2) 的联合 PDF，利用变换 (Z 1, Z 2) \mapsto (R, Z 2) = (Z 1/Z 2,\, Z 2) 推导 (R, Z 2) 的联合 PDF。 (b) 对 Z 2 积分，得到 R 的边际 PDF。 (c) 辨认 R 的分布。概率困难derivation未尝试免费240从独立 Gamma 随机变量推导 Beta 分布与 Beta 函数设 X \sim Gamma ( , 1)，Y \sim Gamma ( , 1) 独立。 (a) 定义 U = X X+Y ，V = X+Y。计算变换 (X,Y) \mapsto (U,V) 的雅可比行列式。 (b) 推导 (U,V) 的联合 PDF，并证明 U 与 V 独立。 (c) 识别 U 的边际分布，并证明 B( , ) = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) 。概率困难derivation未尝试免费241帕累托分布的尾概率与条件期望帕累托分布的形状参数 > 0、尺度参数 x m > 0，其 PDF 为 f(x) = \, x m x +1 , \quad x x m. (a) 推导 t x m 时的 P(X > t)。 (b) 推导 > 1，t x m 时的 E[X \mid X > t]。 (c) 当 = 3，x m = 1，t = 2 时计算以上两个量。概率简单数值题未尝试免费242两个独立均匀分布之和的分布设 X 和 Y 独立，均服从 Uniform (0,1)。定义 S = X + Y。 (a) 利用卷积公式 f S(s) = \int - f X(t) f Y(s-t) dt 推导 S 在所有 s \in R 上的 PDF。 (b) 画出 PDF 的草图并说明该分布的名称。 (c) 计算 P(S > 1.5)。概率中等derivation未尝试免费243指数分布的逆变换抽样法设 U \sim Uniform (0,1)。 (a) 对于具有严格递增 CDF F 的连续随机变量 X，证明 F(X) \sim Uniform (0,1)。 (b) 利用 (a) 的结论，论证 X = F -1 (U) 的 CDF 为 F。 (c) 对 X \sim Exp ( )，其 CDF 为 F(x) = 1 - e - x （x 0），显式推导 F -1 ，并写出由均匀样本生成指数样本的公式。概率中等derivation未尝试免费244通过变量替换推导标准正态平方的分布设 X \sim N(0,1)。 (a) 变换 Y = X 2 不是单调的。用 CDF 方法，先计算 F Y(y) = P(X 2 y)，再求导得到 f Y(y)。 (b) 用非单调变量替换公式验证结果：当 Y = g(X) 有两个分支 x 1(y), x 2(y) 时，f Y(y) = \sum i=1 2 f X(x i(y)) |dx i/dy|。 (c) 辨认所得分布，并表示为 Gamma 分布。概率困难derivation未尝试免费245正态分布的最大熵性质连续随机变量 X（PDF 为 f）的微分熵为 h(X) = -\int - f(x) \ln f(x)\, dx。 (a) 在所有均值为 、方差为 2 的 R 上连续分布中，用拉格朗日乘数法说明最大化 h(X) 的 PDF 满足 \ln f(x) = -1 + \lambda 0 + \lambda 1 x + \lambda 2 x 2。 (b) 利用三个约束条件确定 \lambda 0, \lambda 1, \lambda 2，证明 f 为 N( , 2) 的 PDF。 (c) 计算 X \sim N( , 2) 的 h(X)。概率困难derivation未尝试免费246由独立正态推导瑞利分布设 X 和 Y 独立，均服从 N(0, 2)。定义 R = X 2 + Y 2 。 (a) 用 CDF 方法推导 R 在 r 0 上的 PDF。 (b) 指出该分布的名称并计算 E[R]。 (c) 当 = 1 时，数值计算 E[R] 和 Var (R)。概率简单derivation未尝试免费247作为泊松过程等待时间的 Erlang 分布到达过程服从速率为 > 0 的泊松过程。设 T k 为第 k 次到达的时刻。 (a) 利用 P(T k > t) = P(N(t) < k)（其中 N(t) \sim Poisson ( t)），写出 T k 的 CDF 并求导得到 PDF。 (b) 指出该分布的名称，给出均值和方差。 (c) 当 = 1，k = 3 时，精确计算 P(T 3 > 2)。概率简单数值题未尝试免费248高斯混合的均值、方差与双峰性随机变量 X 服从两个正态的混合分布：以概率 p 从 N(\mu 1, \sigma 1 2) 抽样，以概率 1-p 从 N(\mu 2, \sigma 2 2) 抽样。 (a) 用 p, \mu 1, \mu 2, \sigma 1 2, \sigma 2 2 表达 E[X] 和 Var (X)。 (b) 在对称情形（p = 1/2，\sigma 1 = \sigma 2 = ）下，证明混合 PDF 为双峰当且仅当 |\mu 1 - \mu 2| > 2 。 (c) 当 p = 1/2，\mu 1 = -2，\mu 2 = 2， = 1 时计算 E[X] 和 Var (X)，并验证双峰性。概率中等derivation未尝试免费249均匀分布的顺序统计量：最小值、最大值与极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量，X (1) 为最小值，X (n) 为最大值。 (a) 推导 X (1) 和 X (n) 的 PDF。 (b) 计算 E[X (1) ] 和 E[X (n) ]。 (c) 极差 W = X (n) - X (1) ，当 n = 5 时计算 E[W]。概率中等数值题未尝试免费250折叠正态分布：|X| 的 PDF 与矩设 X \sim N( , 2)， 0。定义 Y = |X|。 (a) 推导 Y 在 y 0 上的 PDF。 (b) 证明 = 0 时 PDF 化简为半正态分布。 (c) 对一般的 , ，用 \phi 和 \Phi 表示 E[Y] 和 Var (Y)。 (d) 当 = 1， = 1 时数值计算 E[Y] 和 Var (Y)。概率困难derivation未尝试免费251已看到 HT 后到首次出现 HTH 的剩余时间一枚公平硬币已经持续抛掷了一段时间，并且当前已观察序列的后缀恰好是 HT（即最近两次结果为 HT）。从现在开始，到模式 HTH 第一次出现还需要多少期望抛掷次数？概率简单数值题未尝试免费252已看到 H 后到首次出现 HTH 的剩余时间一枚公平硬币持续抛掷。已知当前观察到的后缀恰好是 H。从这个后缀状态出发，到 HTH 第一次出现还需要多少期望抛掷次数？概率简单数值题未尝试免费