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非代码面试题
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470样本中位数的渐近分布设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，M n 为样本中位数。渐近理论给出 n (M n - m) \xrightarrow d N(0, 1/(4[f(m)] 2))。 **(a)** 对 Uniform (0,1)，求 m、f(m) 及渐近方差。 **(b)** n=400 时，近似 P(M 400 > 0.54)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费471二项分布尾部与连续性修正公平硬币抛 n=144 次，S 为正面次数。 **(a)** 不带连续性修正，用 CLT 近似 P(S \ge 80)。 **(b)** 带连续性修正重复。 可使用 \Phi(1.33) \approx 0.9082，\Phi(1.25) \approx 0.8944。概率简单数值题未尝试免费472给定估计精度的最小样本量随机变量 X 均值 =5，标准差 =2。观测 n 个独立副本。 用 CLT 求最小 n 使得 P(| X n - 5| > 0.3) < 0.05。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975。概率简单数值题未尝试免费473等权组合负收益概率的 CLT 估计等权组合含 n=50 只股票，各自年化收益独立， =0.08， =0.20。组合收益 R = 1 50 R i。 **(a)** LLN 对 R 的保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P( R < 0)。 可使用 \Phi(2.83) \approx 0.9977。概率中等数值题未尝试免费474尾部概率保证的最小样本量设 X i 为 i.i.d. Exp (1)。设计师要求 P( X n > 1.1) < 0.01。 用 CLT 求满足条件的最小 n。 可使用 \Phi(2.33) \approx 0.9901。概率中等数值题未尝试免费475Slutsky 定理与估计方差下的 CLT设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d.（均值 ，方差 2），S n 2 为样本方差，T n = n ( X n - )/S n。 **(a)** 用 LLN 和 Slutsky 定理证明 T n \xrightarrow d N(0,1)。 **(b)** n=100， X =12.5，S=3.0，\mu 0=12。近似 P( X >12.5)。 可使用 \Phi(1.67) \approx 0.9525。概率困难derivation未尝试免费476四状态链的击中时间考虑状态空间 \ 0,1,2,3\ 上的马尔可夫链，转移概率为： p(0,1)=1,\; p(1,0)=\tfrac 1 3 ,\; p(1,2)=\tfrac 2 3 ,\; p(2,1)=\tfrac 1 2 ,\; p(2,3)=\tfrac 1 2 ,\; p(3,3)=1. 从状态 0 出发，求首次到达状态 3 的期望步数。概率简单数值题未尝试免费477平均回归时间与平稳分布状态空间 \ 1,2,3\ 上的马尔可夫链转移矩阵为 P = \begin pmatrix 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end pmatrix . (a) 求平稳分布 。(b) 利用平稳分布与平均回归时间的关系，求从状态 1 出发回到状态 1 的期望步数。概率简单数值题未尝试免费478惰性随机游走击中时间粒子在 \ 0,1,2,3,4,5\ 上运动。内部状态 i（0<i<5）以概率 1/3 留在原地、1/3 向左、1/3 向右。状态 0 反射：2/3 概率去 1，1/3 留在原地。状态 5 吸收。从状态 0 出发，推导到达状态 5 的期望步数。概率中等derivation未尝试免费479状态依赖漂移的首次到达边界问题粒子在 \ 0,1,2,3,4\ 上运动。从状态 i（0<i<4）以概率 p i = i/4 向右跳，q i = 1-i/4 向左跳。0 和 4 吸收。从状态 2 出发：(a) 求被状态 4 吸收的概率。(b) 求直到吸收的期望步数。概率中等derivation未尝试免费480通过补偿鞅求击中时间方差马尔可夫链在 \ 0,1,2,3\ 上，从 i（0<i<3）以概率 2/3 跳至 i+1，1/3 跳至 i-1。0 和 3 吸收。令 T = \inf\ n: X n \in \ 0,3\ \ 。 (a) 用鞅 M n = X n\wedge T - (p-q)(n\wedge T) 和 OST 求 E[T \mid X 0=2]。 (b) 用鞅 N n = M n 2 - 4pq(n\wedge T) 求 Var (T \mid X 0=2)。 (c) 用一步分析验证 E[T]。概率困难derivation未尝试面试订阅481带跳跃转移的击中时间马尔可夫链在 \ 0,1,2,3,4\ 上运动。状态 i（1 \le i \le 3）以概率 1/2 向左、1/2 向右。状态 4 以概率 1 跳到状态 2。状态 0 吸收。求 E[T 0 \mid X 0 = 2]。概率简单数值题未尝试免费482经过随机化状态的首达时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ 上，转移矩阵为 P = \begin pmatrix 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & 0 & 3/4 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end pmatrix 。状态 0 吸收。(a) 求 E[T \mid X 0=1]。(b) 求 E[T \mid X 0=2]。概率中等数值题未尝试免费483非对称环上的首次回归时间四状态环 \ 0,1,2,3\ ，从 i 顺时针跳到 (i+1)\bmod 4 的概率为 p i，逆时针为 1-p i，其中 p 0=3/4, p 1=1/2, p 2=1/4, p 3=1/2。求从状态 0 出发首次返回状态 0 的期望步数。概率中等数值题未尝试免费484两状态链乘积上的击中时间(X n, Y n) 是 \ 0,1\ 2 上的独立乘积链。X 以概率 1/3 翻转，Y 以概率 1/2 翻转。从 (1,1) 出发，求首次到达 (0,0) 的期望步数。概率中等derivation未尝试免费486带确定性回跳的三状态首达时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ 上：p(0,1)=1，p(1,0)=2/5，p(1,2)=3/5，p(2,2)=1。求 E[T 2 \mid X 0=0]。概率简单数值题未尝试免费487双随机链上的平均回归时间四状态马尔可夫链的转移矩阵 P 是双随机的（每行每列之和均为 1）。不用知道 P 的具体元素，求从状态 0 出发首次返回状态 0 的期望步数。概率简单数值题未尝试免费488奇偶依赖转移的首达时间四状态链 \ 0,1,2,3\ ，0 和 3 吸收。奇数状态 i：p(i,i-1)=3/4，p(i,i+1)=1/4。偶数瞬态状态 i=2：p(i,i-1)=1/4，p(i,i+1)=3/4。求 E[T \mid X 0=1]。概率中等derivation未尝试免费489双目标集的分裂概率与期望击中时间五状态链 \ 0,1,2,3,4\ ，p(1,0)=1/2, p(1,2)=1/2, p(2,1)=1/3, p(2,3)=2/3, p(3,2)=1/4, p(3,4)=3/4。0,4 吸收。T=\inf\ n: X n \in \ 0,4\ \ 。(a) 求 P(X T=4|X 0=2)。(b) 求 E[T|X 0=2]。概率困难derivation未尝试免费490非对称链上的鞅构造求击中时间四状态链 \ 0,1,2,3\ ：p(1,0)=1/3, p(1,2)=2/3, p(2,1)=1/2, p(2,3)=1/2。0 吸收，3 反射（p(3,2)=1）。T=\inf\ n: X n=0\ 。(a) 构造鞅 M n=f(X n\wedge T )-(n\wedge T)c 求 E[T|X 0=2]。(b) 类似方法求 Var (T|X 0=2)。概率困难derivation未尝试免费