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非代码面试题
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049神秘硬币鉴别一个盒子中有三枚硬币，被选中的概率相等： - **硬币 F**（公平）：P(H)= 1 2 - **硬币 H**（偏正面）：P(H)= 3 4 - **硬币 T**（偏反面）：P(H)= 1 4 随机取一枚硬币抛三次，得到序列 H, T, H（给定硬币类型后各次独立）。 (a) 求硬币为每种类型的后验概率。 (b) 求第四次抛出正面的条件概率。概率困难数值题未尝试免费050噪声信号检测与证据阈值隐藏信号 S 等概率取 +1 或 -1。每步收到一个噪声读数：若 S=+1，读数为 +1 的概率为 2 3 、为 -1 的概率为 1 3 ；若 S=-1，读数为 -1 的概率为 2 3 、为 +1 的概率为 1 3 。给定 S 后各读数条件独立。 (a) 观测到序列 (+1,+1,-1)，求后验概率 P(S=+1 \mid 观测 )。 (b) 从均匀先验出发，至少连续观测到多少个 +1 读数才能使 P(S=+1) > 0.95？概率困难数值题未尝试免费078辛普森悖论与临床试验一项临床试验在两个亚组中测试某药物。亚组A（轻症）：治疗组 81/87（93%）康复，对照组 234/270（87%）康复。亚组B（重症）：治疗组 192/263（73%）康复，对照组 55/80（69%）康复。药物在两个亚组中均提高了康复率。现在计算合并两个亚组后的治疗组和对照组的总体康复率，解释表面上的矛盾，并指出引起该矛盾的混杂变量。概率中等derivation未尝试免费080双信封悖论两个信封各装有一笔正数金额，其中一个恰好是另一个的两倍。你随机选一个信封，打开发现里面有 x 元。朴素论证如下：另一个信封等可能是 2x 或 x/2，因此换信封的期望值为 (1/2)(2x) + (1/2)(x/2) = 5x/4 > x，应该总是换——但这导致无限来回切换的荒谬结论。(a) 精确指出朴素论证中的谬误。(b) 假设较小金额 S 服从某个已知的真概率分布且 E[S] = < ，证明无条件换信封的期望收益为零。(c) 解释为什么条件于观察到 x 时，对于某些 x 值换信封是理性的，而对于另一些 x 值则不是。概率困难derivation未尝试面试订阅082睡美人问题睡美人参加如下实验。周日她被催眠入睡。掷一枚公平硬币：若正面朝上，她仅在周一被唤醒；若反面朝上，她在周一和周二各被唤醒一次（周二唤醒前她对周一的记忆会被清除）。每次醒来时她被问：'你认为硬币正面朝上的置信度是多少？'她完全了解实验规则。(a) 给出她应该回答 1/3 的论证（'三分之一派'立场）。(b) 给出她应该回答 1/2 的论证（'二分之一派'立场）。(c) 假设实验独立重复1000次。若睡美人每次醒来以1:1赔率用\1赌正面，她在所有醒来次数上的期望净收益或损失是多少？这对两种立场有何启示？概率中等derivation未尝试免费083领带悖论Alice 和 Bob 各收到一条领带作为礼物。两条领带的价格不同且均为正值。双方都不知道任何一条领带的价格。他们约定比较：领带较便宜的一方赢得对方的领带。Alice 推理：'如果我的领带值 x，那么我要么赢得一条价值超过 x 的领带，要么输掉一条价值 x 的领带。由于两种情况各占一半，我的期望收益为正。' Bob 做出完全相同的论证。两人都认为游戏对自己有利——但这在零和交换中构成矛盾。(a) 精确指出 Alice 推理中的谬误。(b) 假设第三方抽取 V \sim Uniform (1, 100)，将两条领带定价为 V 和 2V 并随机分配给 Alice 和 Bob。若 Alice 看到自己的领带标价为 x，她参与游戏的期望收益是 x 的什么函数？证明无条件期望收益为零。概率中等derivation未尝试免费085检验悖论（公交等待时间）公交车按泊松过程以速率 到站（即到达间隔时间为独立同分布的 Exp ( )，均值 1/ ）。你在一个与公交时刻表无关的随机时间到达车站。令 L 为包含你到达时刻的那个到达间隔的长度——即你到达前最后一班车与你到达后下一班车之间的时间。(a) 求 E[L]。解释为什么它不等于 1/ ，尽管到达间隔的均值是 1/ 。(b) 求你的期望等待时间 E[W]（从到达到下一班车）。(c) 一位城市官员调查乘客并询问等待时间。如果报告的平均值为 1/ ，交通管理部门应该感到惊讶吗？用检验悖论解释。概率困难derivation未尝试面试订阅087赌徒谬误与热手谬误公平硬币抛掷100次。(a) 已知刚刚连续出现三次正面，下一次出现正面的概率是多少？一位赌徒坚持认为应该小于 1/2，因为'该出反面了'。请精确解释其错误。(b) 换一个场景：篮球运动员的投篮用马尔可夫链建模，P( 命中 \mid 上次命中 ) = 0.6，P( 命中 \mid 上次未中 ) = 0.4。连续三次命中后，下次命中的概率是多少？(c) Miller和Sanjurjo (2018)证明，即使是公平硬币，如果选取连续k次正面之后的抛掷并计算正面的样本比例，其期望严格小于1/2。为什么会这样？这对热手效应的实证研究有何启示？概率简单derivation未尝试免费088圣彼得堡悖论赌场提供以下游戏：反复抛掷公平硬币直到第一次出现反面。如果第 n 次出现第一个反面，你赢得 2 n 美元。(a) 计算游戏的期望收益。(b) 尽管(a)的答案如此，大多数人只愿支付约20美元来玩。用Daniel Bernoulli的方法解决这个悖论：假设玩家具有对数效用 u(x) = \ln(x) 和初始财富 W。计算游戏的期望效用，并求 W = 1 , 000 , 000 时的确定性等价额。(c) 更实际的解决方案：假设赌场总资本有限为 C。若赔付上限为 C = 2 40 （约1万亿美元），期望收益是多少？概率中等derivation未尝试免费089检察官谬误一座城市有1,000,000名居民。一人犯了罪。警方使用的法医检测假阳性率为万分之一（P( 阳性 \mid 无辜 ) = 10 -4 ），真阳性率为100%（P( 阳性 \mid 有罪 ) = 1）。一名嫌疑人检测呈阳性。(a) 检察官论证：'假阳性概率仅为 10 -4 ，所以此人无辜的概率只有0.01%。'这个论证有什么问题？(b) 假设嫌疑人在检测前从全市居民中随机选出，计算嫌疑人有罪的实际后验概率。(c) 现在假设目击证据在法医检测之前独立地将嫌疑人范围缩小到5人。重新计算有罪的后验概率。概率中等数值题未尝试免费098威尔·罗杰斯悖论（阶段迁移）A组包含值 \ 1, 2, 3, 9\ ，B组包含 \ 5, 6, 7, 8\ 。 (a) 计算每组的均值。 (b) 将元素 5 从B组移到A组，重新计算每组均值。验证两组均值均上升。 (c) 所有8个值的总均值不变。证明一般命题：若将一个值 x 从B组移到A组，且 A < x < B ，则移动后两组均值均严格增大。 (d) 一项医学研究报告称新诊断技术使I期和II期癌症患者的平均生存时间均有所提高，但总体生存率不变。在没有任何实际治疗改善的情况下，解释这如何可能。概率中等数值题未尝试免费135条件第三次掷骰达到十分掷两个公平的六面骰子。若它们的和为偶数，则再掷第三个骰子，得分为三个骰子之和。若它们的和为奇数，得分就是前两个骰子之和。求得分至少为10的概率。概率困难数值题未尝试免费167同时被两组命中的日期期望数A 组有 a 个人，B 组有 b 个人，生日都独立且均匀落在 365 天上。期望会有多少个日期同时被两组至少一人命中？概率中等derivation未尝试面试订阅180从抽样盒中推导超几何分布的矩一个盒子中有20个球：8个红球和12个蓝球。不放回地抽取5个球，令 X 为抽到的红球数。利用示性随机变量推导 E[X] 和 Var (X)，以精确分数表示。概率困难derivation未尝试免费193非空盒子的条件期望占有量将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。已知盒子1非空，盒子1中球数的期望值是多少？给出精确分数。概率中等数值题未尝试免费210多项分布的协方差与条件分布掷一个公平骰子 n = 60 次。令 X i 为面 i 出现的次数（i = 1, \ldots, 6），则 (X 1, \ldots, X 6) \sim Multinomial (60, 1/6, \ldots, 1/6)。 (a) 用指示变量计算 Cov (X 1, X 2)。 (b) 求相关系数 (X 1, X 2)。 (c) 确定在 X 1 = 12 条件下 (X 2, X 3, X 4, X 5, X 6) 的条件分布，并求 E[X 2 \mid X 1 = 12]。概率困难derivation未尝试免费214泊松稀释与分流独立性设 N \sim Poisson ( )。每个事件独立地以概率 p 被分为第1类，以概率 1-p 被分为第2类。令 N 1, N 2 分别为两类事件的计数。 (a) 推导 N 1 的边际分布。 (b) 推导联合 PMF P(N 1 = j, N 2 = k)，并证明 N 1 与 N 2 独立。 (c) 某网站每小时页面浏览量为 = 200。每位访客独立地以概率 p = 0.03 转化（购买）。求一小时内恰好有4次转化的概率，以及在总浏览量不超过210的条件下至少有1次转化的概率。概率困难derivation未尝试免费217负二项分布作为泊松–伽马混合设 \Lambda \sim Gamma (r, )，密度为 f \Lambda( ) = r \Gamma(r) r-1 e - ，且 X \mid \Lambda = \sim Poisson ( )。 (a) 写出 P(X=k \mid \Lambda= )，并通过对 \Lambda 积分计算边际 PMF P(X=k)。 (b) 证明 P(X=k) = \binom k+r-1 k p k(1-p) r（p=1/(1+ )），并识别此分布。 (c) 利用全期望和全方差公式求 E[X] 和 Var (X)。 (d) 验证：r=3， =4，计算 P(X=2) 和 E[X]。概率中等derivation未尝试免费223零截断泊松分布**零截断泊松分布**出现在观测到泊松过程至少发生一次事件时。设 Y \sim Poisson ( )， > 0，定义 X = (Y \mid Y \ge 1)。 (a) 推导 X 的 PMF，证明 P(X=k) = k k!(e -1) ，k=1,2,3,\ldots，并验证其和为 1。 (b) 通过截断关系求 E[X]，证明 E[X] = 1-e - 。 (c) 利用 Var (X) = E[X 2]-(E[X]) 2 推导 Var (X)。 (d) 当 =0.5 时，数值计算 P(X=1)、E[X]、 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费224复合泊松分布：矩母函数与矩设 N \sim Poisson ( )，X 1, X 2, \ldots 独立同分布（与 N 独立），MGF 为 M X(t)。定义复合泊松和 S = \sum i=1 N X i（N=0 时 S=0）。 (a) 推导 S 的 MGF，证明 M S(t) = \exp( (M X(t)-1))。 (b) 用 MGF 推导 E[S] 和 Var (S)。 (c) 用全期望公式和全方差公式重新推导。 (d) 保险公司每天收到 =10 件理赔，每件金额为 1000 元（概率 0.6）或 5000 元（概率 0.4）。求每日总理赔额 S 的期望、方差和标准差。概率困难derivation未尝试免费