第 2 / 3 页
非代码面试题
显示 20 / 48 道匹配题目
答题状态：未尝试未正确已正确
ID题目领域难度题型进度权限
335无放回抽样的样本均值方差一个箱子中有编号为 1, 2, \dots, N 的 N 个球。不放回地抽取 n 个球，令 X = \tfrac 1 n \sum i=1 n X i（X i 为第 i 次抽到的编号）。推导 Var ( X ) 关于 N 和 n 的表达式，并计算 N=10、n=4 时的值。概率困难derivation未尝试免费337独立变量之差的方差设 X 与 Y 独立， Var (X) = 4， Var (Y) = 9。一位同学声称 SD (X - Y) = SD (X) - SD (Y) = 2 - 3 = -1。求 Var (X - Y) 和 SD (X - Y) 的正确值，并解释该同学的错误。概率简单数值题未尝试免费338两个独立均匀变量之积的方差设 X 和 Y 独立，均服从 [0,1] 上的均匀分布。求 Var (XY)。概率中等数值题未尝试免费339二元正态的条件方差设 (X, Y) 服从二元正态分布，E[X] = E[Y] = 0， Var (X) = 1， Var (Y) = \sigma Y 2， Corr (X,Y) = 。推导 Var (Y \mid X = x) 并说明其不依赖于 x。对 \sigma Y = 3、 = 0.6 求数值。概率困难derivation未尝试免费343多项分布计数的协方差将一个公平六面骰子独立投掷 60 次。令 N 1 为面 1 出现的次数，N 2 为面 2 出现的次数。 (a) 求 Cov (N 1, N 2)。 (b) 利用 (a) 的结果求 Var (N 1 + N 2)，并通过识别 N 1 + N 2 的分布来验证。概率中等数值题未尝试免费344用 Delta 方法近似比率的方差设 X 和 Y 独立，E[X] = 10， Var (X) = 4，E[Y] = 5， Var (Y) = 1。利用 Delta 方法（一阶 Taylor 展开）推导 Var (X/Y) 的近似公式并求数值。概率困难derivation未尝试免费349随机和的方差（Wald 方差恒等式）某商铺每天收到 N 笔订单，N \sim Poisson (8)。每笔订单金额 X i 独立且 E[X i] = 50， Var (X i) = 400。令 S = X 1 + \cdots + X N 为每日总收入。 利用全方差公式推导 Var (S) 并求值。概率中等数值题未尝试免费350正态总体样本方差的精确方差设 X 1, \ldots, X n iid N( , 2)，样本方差 S 2 = 1 n-1 \sum i=1 n(X i - X ) 2。 (a) 确定 (n-1)S 2/ 2 的分布，据此推导 Var (S 2) 的精确公式。 (b) 当 n=10、 2=3 时求 Var (S 2)。概率困难derivation未尝试免费352几何次数下的瓦尔德等式反复掷一枚均匀骰子，直到出现 6 为止。每次非 6 的结果计入得分，出现 6 时不计分且游戏结束。设 S 为总得分，利用瓦尔德等式求 E[S]。概率简单数值题未尝试免费353随机和的二阶矩——塔性质设 N \sim Poisson (4)，给定 N=n 时，S = X 1 + \cdots + X n，其中 X i \stackrel iid \sim Uniform (0,1)。利用塔性质与 E[S 2 \mid N] = Var (S \mid N) + (E[S \mid N]) 2 求 E[S 2]。概率中等数值题未尝试免费355Beta-二项分布的矩——Adam 定律与 Eve 定律设 P \sim Beta (2,3)，给定 P=p 时 X \sim Binomial (10,p)。利用 Adam 定律（E[X]=E[E[X \mid P]]）和 Eve 定律（ Var (X)=E[ Var (X \mid P)]+ Var (E[X \mid P])）推导 E[X] 和 Var (X)。概率困难derivation未尝试免费356三层离散隐变量的塔性质随机变量 K 均匀取自 \ 1,2,3\ 。给定 K=k，X \sim Exp (k)（速率 k，即 E[X \mid K = k]=1/k）。求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费358泊松复合指数和的全方差公式设 N \sim Poisson (3)，给定 N=n，S = X 1 + \cdots + X n，X i \stackrel iid \sim Exp (2)（速率 2）。利用全方差公式求 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费359连续混合参数下的塔性质设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U=u，X \sim Geometric (u)（首次成功的试验次数，P(X = k \mid U = u) = (1-u) k-1 u）。利用塔性质求 E[X]。概率中等数值题未尝试免费361随机掷硬币次数的塔性质掷一枚公平骰子得到 D \sim Uniform \ 1,2,3,4,5,6\ ，然后独立掷 D 枚公平硬币，X 为正面总数。利用塔性质求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费362两阶段二项抽取的迭代期望设 N 均匀取自 \ 1,2,3,4\ ，给定 N=n 时 X \sim Binomial (n,1/3)。求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费363伯努利切换指数速率的两层塔性质设 Z \sim Bernoulli (1/2)。Z=1 时 Y \sim Exp (1)，Z=0 时 Y \sim Exp (2)（速率参数）。给定 Y=y，X \sim Poisson (y)。利用迭代塔性质和 Eve 定律，求 E[X] 和 Var (X)。概率中等数值题未尝试免费364高斯马尔可夫链中塔性质的验证设 (X,Y,Z) 为均值为零的联合正态， Var (X)= Var (Y)= Var (Z)=1， Corr (X,Y)=1/2， Corr (Y,Z)=1/3， Corr (X,Z)=1/6（X \perp\!\!\perp Z \mid Y）。 (a) 用二元正态回归公式直接求 E[X \mid Z]。 (b) 先求 E[X \mid Y]，再求其给定 Z 的条件期望，得到 E[E[X \mid Y] \mid Z]。 (c) 验证两个结果一致，说明塔性质在马尔可夫条件下的适用性。概率困难derivation未尝试免费365三层正态层级模型：迭代塔性质与平滑三层正态层级：Z \sim N(0,1)，Y \mid Z \sim N(Z,1)，X \mid Y \sim N(Y,1)。 (a) 利用迭代期望求 E[X] 和 Var (X)。 (b) 利用塔性质 E[X \mid Z] = E[E[X \mid Y] \mid Z] 求 E[X \mid Z]。 (c) 通过计算 Cov (X,Z) 并利用联合正态性验证 (b) 的结果。概率困难derivation未尝试免费366通过塔性质求乘积矩设 Y \sim Exp (1)，给定 Y=y 时 X \mid Y = y \sim Uniform (0,y)。利用塔性质求 E[XY]。概率简单数值题未尝试免费