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非代码面试题
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2838几何计数之和设 X 1,\dots,X r 独立同分布，且都服从定义在 \ 0,1,2,\dots\ 上的几何分布 \[ P(X i=k)=p(1-p) k. \] 用 PGF 识别 S=X 1+\cdots+X r 的分布，并计算 E[S]。概率中等derivation未尝试面试订阅2840泊松个数的几何票据发生器设 N\sim Poisson (3)。在给定 N 的条件下，定义 \[ S=\sum i=1 N B i, \] 其中每个 B i 在 \ 0,1,2,\dots\ 上服从参数为 p=1/4 的几何分布，即 P(B i=k)=\frac14(\frac34) k。求 S 的 PGF，并计算 E[S]。概率中等derivation未尝试面试订阅2841带符号复合泊松订单流把市场买单记为 +1、卖单记为 -1。一分钟内的成交笔数满足 N\sim Poisson ( )；在给定发生一笔成交时，其符号以概率 p 取 +1，以概率 1-p 取 -1，且彼此独立。记该分钟的净带符号订单流为 S。求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2842指数跳幅的复合泊松和理赔笔数满足 N\sim Poisson ( )。理赔金额 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，且服从参数为 的指数分布，并与 N 独立。记 S=\sum i=1 N X i。求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2843Gamma-泊松混合得到负二项计数潜在强度 \Lambda 服从形状参数为 、率参数为 的 Gamma ( , ) 分布。在给定 \Lambda 的条件下，计数变量 N 服从 Poisson (\Lambda)。用 MGF 判断 N 的无条件分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2844几何个指数阶段之和一个任务会经历几何个阶段：N 的取值集合为 \ 1,2,\dots\ ，且 P(N=n)=p(1-p) n-1 。每个阶段的持续时间独立同分布，服从参数为 的指数分布，并与 N 独立。记 T=\sum i=1 N X i。用 MGF 判断 T 的分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2845从 MGF 识别平移后的泊松分布某随机变量的 MGF 为 \[ M X(t)=\exp\!\bigl(2t+3(e t-1)\bigr). \] 识别 X 的分布，并计算 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试面试订阅2848从联合 MGF 读取协方差设 \[ M X,Y (s,t)=\exp\!\bigl(2s-t+2s 2+3st+\tfrac52 t 2\bigr). \] 计算 E[X]、E[Y]、 Var (X)、 Var (Y) 以及 Cov (X,Y)。概率中等derivation未尝试面试订阅2849两个指数变量之差设 X,Y\overset i.i.d. \sim Exponential ( )。用 MGF 判断 D=X-Y 的分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2850两个独立泊松计数之差设 X\sim Poisson (\lambda 1)、Y\sim Poisson (\lambda 2) 相互独立。求 D=X-Y 的特征函数，并计算 E[D] 和 Var (D)。概率中等derivation未尝试面试订阅2851用特征函数证明 Rademacher 的中心极限定理设 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，且 P(X i=1)=P(X i=-1)=1/2。请用特征函数证明 \[ X 1+\cdots+X n n \Rightarrow N(0,1). \]概率困难derivation未尝试面试订阅2852Cauchy 样本均值仍是 Cauchy设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的标准 Cauchy 随机变量，其特征函数为 \phi(u)=e -|u| 。用特征函数证明样本均值 (X 1+\cdots+X n)/n 仍服从标准 Cauchy 分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2853用中心化特征函数得到泊松到正态的极限设 N \sim Poisson ( )。请直接使用特征函数证明 \[ N - \Rightarrow N(0,1) \quad 当 . \]概率困难derivation未尝试面试订阅2854稀有事件下二项分布到泊松分布设 X n\sim Binomial (n, /n)，其中 >0 固定。用特征函数证明 X n\Rightarrow Poisson ( )。概率中等derivation未尝试面试订阅2856高斯跳幅的复合泊松和设 N\sim Poisson ( )，并且 Y 1,Y 2,\dots 相互独立同分布，服从 N( , 2)，且与 N 独立。对 \[ S=\sum k=1 N Y k, \] 求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2857双波动率混合并不是高斯分布收益 R 在条件上服从高斯分布： \[ R\mid V= \sim N(0, 2), \] 其中 V 以各 1/2 的概率取 1 或 2。求 R 的特征函数，并说明为什么 R 本身不是高斯分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2858从特征函数识别 Laplace 分布设某个中心化随机变量的特征函数为 \[ \phi X(u)= 1 1+b 2u 2 . \] 识别 X 的分布，并给出其存在区间上的 MGF。概率中等derivation未尝试面试订阅2859指数样本均值的 MGF设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的指数随机变量，率参数为 ，并记 \[ X n= 1 n \sum i=1 n X i. \] 求 X n 的 MGF，并由此恢复 E[ X n] 和 Var ( X n)。概率中等derivation未尝试面试订阅2860均匀收益冲击的特征函数设 X\sim Uniform [-a,a]。求它的特征函数，并由该变换恢复 Var (X)。概率中等derivation未尝试面试订阅2861为什么两个独立拷贝之差天然对称设 X 和 Y 相互独立且同分布，特征函数为 \phi(u)。证明 D=X-Y 的特征函数为 |\phi(u)| 2，并据此说明 D 关于 0 对称。概率中等derivation未尝试面试订阅