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非代码面试题
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349随机和的方差（Wald 方差恒等式）某商铺每天收到 N 笔订单，N \sim Poisson (8)。每笔订单金额 X i 独立且 E[X i] = 50， Var (X i) = 400。令 S = X 1 + \cdots + X N 为每日总收入。 利用全方差公式推导 Var (S) 并求值。概率中等数值题未尝试免费352几何次数下的瓦尔德等式反复掷一枚均匀骰子，直到出现 6 为止。每次非 6 的结果计入得分，出现 6 时不计分且游戏结束。设 S 为总得分，利用瓦尔德等式求 E[S]。概率简单数值题未尝试免费353随机和的二阶矩——塔性质设 N \sim Poisson (4)，给定 N=n 时，S = X 1 + \cdots + X n，其中 X i \stackrel iid \sim Uniform (0,1)。利用塔性质与 E[S 2 \mid N] = Var (S \mid N) + (E[S \mid N]) 2 求 E[S 2]。概率中等数值题未尝试免费355Beta-二项分布的矩——Adam 定律与 Eve 定律设 P \sim Beta (2,3)，给定 P=p 时 X \sim Binomial (10,p)。利用 Adam 定律（E[X]=E[E[X \mid P]]）和 Eve 定律（ Var (X)=E[ Var (X \mid P)]+ Var (E[X \mid P])）推导 E[X] 和 Var (X)。概率困难derivation未尝试免费356三层离散隐变量的塔性质随机变量 K 均匀取自 \ 1,2,3\ 。给定 K=k，X \sim Exp (k)（速率 k，即 E[X \mid K = k]=1/k）。求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费358泊松复合指数和的全方差公式设 N \sim Poisson (3)，给定 N=n，S = X 1 + \cdots + X n，X i \stackrel iid \sim Exp (2)（速率 2）。利用全方差公式求 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费359连续混合参数下的塔性质设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U=u，X \sim Geometric (u)（首次成功的试验次数，P(X = k \mid U = u) = (1-u) k-1 u）。利用塔性质求 E[X]。概率中等数值题未尝试免费361随机掷硬币次数的塔性质掷一枚公平骰子得到 D \sim Uniform \ 1,2,3,4,5,6\ ，然后独立掷 D 枚公平硬币，X 为正面总数。利用塔性质求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费362两阶段二项抽取的迭代期望设 N 均匀取自 \ 1,2,3,4\ ，给定 N=n 时 X \sim Binomial (n,1/3)。求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费363伯努利切换指数速率的两层塔性质设 Z \sim Bernoulli (1/2)。Z=1 时 Y \sim Exp (1)，Z=0 时 Y \sim Exp (2)（速率参数）。给定 Y=y，X \sim Poisson (y)。利用迭代塔性质和 Eve 定律，求 E[X] 和 Var (X)。概率中等数值题未尝试免费364高斯马尔可夫链中塔性质的验证设 (X,Y,Z) 为均值为零的联合正态， Var (X)= Var (Y)= Var (Z)=1， Corr (X,Y)=1/2， Corr (Y,Z)=1/3， Corr (X,Z)=1/6（X \perp\!\!\perp Z \mid Y）。 (a) 用二元正态回归公式直接求 E[X \mid Z]。 (b) 先求 E[X \mid Y]，再求其给定 Z 的条件期望，得到 E[E[X \mid Y] \mid Z]。 (c) 验证两个结果一致，说明塔性质在马尔可夫条件下的适用性。概率困难derivation未尝试免费365三层正态层级模型：迭代塔性质与平滑三层正态层级：Z \sim N(0,1)，Y \mid Z \sim N(Z,1)，X \mid Y \sim N(Y,1)。 (a) 利用迭代期望求 E[X] 和 Var (X)。 (b) 利用塔性质 E[X \mid Z] = E[E[X \mid Y] \mid Z] 求 E[X \mid Z]。 (c) 通过计算 Cov (X,Z) 并利用联合正态性验证 (b) 的结果。概率困难derivation未尝试免费366通过塔性质求乘积矩设 Y \sim Exp (1)，给定 Y=y 时 X \mid Y = y \sim Uniform (0,y)。利用塔性质求 E[XY]。概率简单数值题未尝试免费367几何停止指数和的方差设 N \sim Geometric (1/2)（P(N=k)=(1/2) k，k=1,2,\ldots），给定 N 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布于 Exp (1)。令 S=X 1+\cdots+X N。利用全期望定律和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费368尺度混合正态的二阶矩（塔性质）设 \Theta 均匀取自 \ 1,2,3\ ，给定 \Theta= 时 X \mid \Theta = \sim N(0, )。利用塔性质求 E[X 2] 和 E[X 4]。概率中等数值题未尝试免费369三层泊松-二项-均匀塔设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U 时 N \mid U \sim Poisson (10U)，给定 (N,U) 时 X \mid N,U \sim Binomial (N,U)。利用迭代塔性质和 Eve 定律求 E[X] 和 Var (X)。概率困难数值题未尝试免费371均匀先验下二项成功概率的塔性质设 P \sim Uniform (0,1)，给定 P=p 时 X \mid P = p \sim Binomial (10,p)。利用塔性质求 E[X]。概率简单数值题未尝试免费372相关伯努利最大值的指示函数与塔性质设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U 时 X,Y 条件独立同分布于 Bernoulli (U)。令 M=\max(X,Y)。利用塔性质和指示函数表示求 E[M]。概率简单数值题未尝试免费373加法伯努利马尔可夫链中的两步塔设 X 1 \sim Uniform \ 0,1\ ，X 2=X 1+B 1，X 3=X 2+B 2，其中 B 1,B 2 独立同分布于 Bernoulli (1/2)。 (a) 利用塔性质求 E[X 3 \mid X 1] 和 E[X 3]。 (b) 利用 Eve 定律求 Var (X 3)。概率中等数值题未尝试免费374复合泊松和：均值和方差（Eve 定律）设 N \sim Poisson (4)，给定 N 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布，E[X i]=3， Var (X i)=2。令 S=X 1+\cdots+X N。利用塔性质和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费