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非代码面试题
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390多元正态的线性变换（矩生成函数法）设 X \sim N(\boldsymbol , \boldsymbol \Sigma ) 为 p 维正态随机向量， A 为 m p 常数矩阵。利用矩生成函数证明 Z = A X 服从多元正态分布，并给出其均值向量和协方差矩阵。概率困难derivation未尝试免费393两个标准正态平方和的分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)，R = X 1 2 + X 2 2。 (a) 利用极坐标推导 (R, \Theta) 的联合密度。 (b) 对 \Theta 积分，求 R 的密度并识别其分布。概率中等multi part未尝试免费394独立标准正态之比服从柯西分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)。利用变换 (Y,V)=(X 1/X 2, X 2)： (a) 推导联合密度 f Y,V (y,v)。 (b) 对 V 积分，求 Y=X 1/X 2 的边际密度并识别分布。概率困难derivation未尝试免费395正态的指数：对数正态分布设 X \sim N( , 2)，Y = e X。 (a) 利用换元公式推导 Y 的 PDF。 (b) 利用正态 MGF 计算 E[Y] 和 Var (Y)。 (c) 证明 Y 的中位数为 e ，并解释为何 >0 时 E[Y]> 中位数。概率困难multi part未尝试免费400由卡方变量推导 Fisher F 分布设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立，F = (X/m)/(Y/n)。 (a) 利用变换 (F,W)=(nX/(mY), Y)，计算雅可比并推导联合密度。 (b) 对 W 积分得 F 的边际 PDF，验证为 F(m,n) 分布。 (c) 证明 E[F] = n/(n-2)（n>2）。概率困难multi part未尝试免费405极值的联合分布与极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。令 X (1) = \min i X i，X (n) = \max i X i。概率困难multi part未尝试面试订阅410两个均匀顺序统计量的联合密度与协方差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。考虑顺序统计量 X (i) 和 X (j) ，其中 1 \le i < j \le n。概率困难multi part未尝试面试订阅413第 k 个均匀顺序统计量的 Beta 分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)。推导第 k 个顺序统计量 X (k) 服从 Beta (k, n-k+1) 分布。概率中等derivation未尝试免费414指数顺序统计量间距的 Renyi 表示设 X 1,\ldots,X n 为 iid Exp ( )，X (1) \le\cdots\le X (n) 为顺序统计量。定义归一化间距 D k=(n-k+1)(X (k) -X (k-1) )（k=1,\ldots,n），其中 X (0) =0。概率困难multi part未尝试面试订阅418第二小指数变量的期望值设 X 1,\ldots,X 5 为独立的 Exp (1) 随机变量。推导 E[X (2) ]。概率中等derivation未尝试免费419给定最大值时最小值的条件分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)（n\ge 3）。X (1) 和 X (n) 分别为最小值和最大值。概率困难multi part未尝试面试订阅420第 k 个均匀顺序统计量的方差设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)。推导 Var (X (k) ) 的封闭表达式（1\le k\le n）。概率困难derivation未尝试面试订阅425两个最小指数顺序统计量之比设 X 1, X 2 为独立的 Exp (1) 随机变量，顺序统计量为 X (1) \le X (2) 。定义 U=X (1) /X (2) 。概率困难multi part未尝试面试订阅430无记忆性的刻画与剩余寿命悖论(a) 设 X 为连续正随机变量，满足 P(X > s+t \mid X > s) = P(X>t)。证明 X 必为指数分布。 (b) 灯泡寿命 L 的 CDF 为 F(t) = 1 - 1 2 e -t - 1 2 e -3t 。你在随机时刻到达观察正在使用的灯泡，设 R 为其剩余寿命。证明 E[R] > E[L] 并计算两个值。解释为何无记忆性的缺失导致此悖论。概率困难derivation未尝试面试订阅435几何分布无记忆性的唯一性(a) 设正整数随机变量 N 满足 P(N>m+n \mid N>m)=P(N>n)。证明 N 必为几何分布。 (b) 对 N \sim Geom (p)，用无记忆性求 E[N 2 \mid N>k]，验证 Var (N \mid N>k) = Var (N)。概率困难derivation未尝试面试订阅439依次淘汰竞赛三名玩家寿命独立：X 1 \sim Exp (1)，X 2 \sim Exp (2)，X 3 \sim Exp (4)。先「死」者淘汰，幸存者由无记忆性以相同速率继续。(a) 求淘汰顺序为 X 3, X 1, X 2 的概率。(b) 求仅剩一人的期望总时间。概率困难multi part未尝试面试订阅444四个竞争指数的完全排列概率四个独立指数变量 X 1 \sim Exp (1)，X 2 \sim Exp (2)，X 3 \sim Exp (3)，X 4 \sim Exp (6)。用迭代无记忆性求 P(X 4 < X 3 < X 2 < X 1)。概率困难数值题未尝试面试订阅445指数混合分布的无记忆性失效设 X 的密度为 f(x) = 1 2 e -x + 5 2 e -5x （ Exp (1) 和 Exp (5) 的等权混合）。 (a) 求 P(X>s+t \mid X>s) 并证明其依赖于 s。 (b) 计算 P(X>2 \mid X>1) 并与 P(X>1) 比较。 (c) 解释：当 s 增大时条件分布如何变化？概率困难multi part未尝试面试订阅450指数竞赛中的先发优势设 X \sim Exp ( )，Y \sim Exp ( ) 独立。A 在时刻 X 完成，B 在时刻 Y + c（c > 0）完成。 (a) 推导 P(X < Y + c)。 (b) 当 c 0 时恢复标准竞争指数公式。 (c) 对 =3, =2, c=1 求值并解释。概率困难multi part未尝试面试订阅454偏态伯努利和的Berry-Esseen界设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Bernoulli (0.01)，n = 10 , 000，S n = X i。 **(a)** 用 CLT 近似 P(S n \le 80)。 **(b)** Berry-Esseen 定理：\sup x |P(Z n \le x) - \Phi(x)| \le C 3 n ，其中 = E[|X 1 - | 3]，C \le 0.4748。计算 (a) 的近似误差上界。 可使用 \Phi(-2) \approx 0.0228。概率中等derivation未尝试免费