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非代码面试题
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189重载盒子的概率将6个可区分的球独立且均匀随机地投入4个可区分的盒子中。至少有一个盒子包含3个或更多球的概率是多少？给出精确分数。概率困难数值题未尝试免费205用指示变量求超几何分布的均值与方差一个箱中有20个球：8红12蓝。不放回地抽取5个球，令 X 为抽到的红球数。定义指示变量 X i = 1 \ 第 i 次抽到红球 \ （i = 1, \ldots, 5）。 (a) 用期望的线性性求 E[X]。 (b) 计算 i \ne j 时的 Cov (X i, X j)，并由此推导 Var (X)。 (c) 验证当 N 且 K/N p 时，你的方差公式退化为二项分布方差 np(1-p)。概率困难derivation未尝试免费229标准正态分布的尾部概率与区间概率设 Z \sim N(0,1)。已知 \Phi(1) \approx 0.8413，\Phi(2) \approx 0.9772，计算：(a) P(|Z| > 2)；(b) P(1 < Z < 2)。请用正态分布的对称性解释每一步。概率中等数值题未尝试免费285随机边着色中的单色团将完全图 K n 的每条边独立地以等概率 1 2 染为红色或蓝色。对给定整数 k \ge 2，求单色 k-团（所有 \binom k 2 条边颜色相同的 k 顶点完全子图）的期望个数。用 n 和 k 表示结果。概率困难derivation未尝试免费286随机排列中的上升数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。位置 i（1 \le i \le n-1）处的上升是指 (i) < (i+1) 的情况。求上升数的期望值。概率简单derivation未尝试免费295随机排列中的循环数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。求 的循环分解中循环个数的期望值，将答案表示为 n 的一个常见函数。概率困难derivation未尝试免费300两棵随机生成树的公共边设 T 1 和 T 2 是完全图 K n 的两棵独立均匀随机生成树（各自从所有 n n-2 棵标记生成树中等概率抽取，相互独立）。求同时属于 T 1 和 T 2 的边数的期望值。概率困难derivation未尝试免费301随机排列的下降数设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的一个均匀随机排列。若 (i) > (i+1)，则称位置 i 为一个下降。下降个数的期望值是多少？概率简单数值题未尝试免费305独特选择与独特邻居对n 个人排成一排，每人独立且等概率地从 \ 1, 2, \dots, k\ 中选一个整数。若某人选的数没有任何其他人也选，则称该人是「独特的」。 (a) 用示性变量求独特人数的期望 E[U]。 (b) 若相邻的两人 (i, i+1) 都是独特的，则称之为一个「独特邻居对」。求独特邻居对数的期望 E[N]。概率困难derivation未尝试免费306排列中的中间位置设 为 \ 1, 2, \dots, n\ 的均匀随机排列。若 \min( (i-1), (i+1)) < (i) < \max( (i-1), (i+1))，则称位置 i \in \ 2, \dots, n-1\ 为中间位置。中间位置个数的期望是多少？概率简单数值题未尝试免费325随机点的可比较对数设 X 1, X 2, \dots, X n 独立均匀分布在 [0,1] d（d 维单位超立方体）上。若两点 X i 和 X j 满足 X i 在每个坐标上均不超过 X j，或反之，则称它们可比较。求可比较对数的期望。概率困难derivation未尝试免费385Box-Muller 变换：从均匀到独立正态设 U 1, U 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量，定义 Z 1 = -2\ln U 1 \,\cos(2 U 2),\quad Z 2 = -2\ln U 1 \,\sin(2 U 2). (a) 计算从 (Z 1,Z 2) 到 (U 1,U 2) 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 Z 1 和 Z 2 是独立的 N(0,1) 随机变量。概率困难derivation未尝试免费390多元正态的线性变换（矩生成函数法）设 X \sim N(\boldsymbol , \boldsymbol \Sigma ) 为 p 维正态随机向量， A 为 m p 常数矩阵。利用矩生成函数证明 Z = A X 服从多元正态分布，并给出其均值向量和协方差矩阵。概率困难derivation未尝试免费398卡方分布的可加性（MGF 证明）设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立。利用矩生成函数证明 X+Y \sim \chi 2(m+n)。概率中等derivation未尝试免费399标准正态的绝对值：半正态分布设 X \sim N(0,1)，Y = |X|。 (a) 利用 CDF 方法推导 Y 的 PDF（注意 |X| 不是单调函数）。 (b) 计算 E[Y] 和 Var (Y)。概率中等multi part未尝试免费404均匀顺序统计量的期望极差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1) 随机变量。极差定义为 R = X (n) - X (1) 。推导 E[R] 关于 n 的封闭表达式。概率中等derivation未尝试免费409均匀顺序统计量相邻间距的期望设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)，令 X (0) =0，X (n+1) =1。证明 E[X (k+1) -X (k) ]= 1 n+1 对所有 k=0,\ldots,n 成立，并计算 n=4 时的值。概率中等数值题未尝试免费410两个均匀顺序统计量的联合密度与协方差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。考虑顺序统计量 X (i) 和 X (j) ，其中 1 \le i < j \le n。概率困难multi part未尝试面试订阅415均匀样本中程的分布设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)（n\ge 2）。中程定义为 M= X (1) +X (n) 2 。利用 (X (1) ,X (n) ) 的联合密度推导 M 的 PDF。概率困难derivation未尝试面试订阅418第二小指数变量的期望值设 X 1,\ldots,X 5 为独立的 Exp (1) 随机变量。推导 E[X (2) ]。概率中等derivation未尝试免费