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非代码面试题
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417极差超过二分之一的概率设 X 1, X 2, X 3 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。极差 R = X (3) -X (1) 。计算 P(R> 1 2 )。概率中等数值题未尝试免费423均匀顺序统计量极差的方差设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)，R=X (n) -X (1) 。推导 Var (R) 关于 n 的表达式。概率中等derivation未尝试免费430无记忆性的刻画与剩余寿命悖论(a) 设 X 为连续正随机变量，满足 P(X > s+t \mid X > s) = P(X>t)。证明 X 必为指数分布。 (b) 灯泡寿命 L 的 CDF 为 F(t) = 1 - 1 2 e -t - 1 2 e -3t 。你在随机时刻到达观察正在使用的灯泡，设 R 为其剩余寿命。证明 E[R] > E[L] 并计算两个值。解释为何无记忆性的缺失导致此悖论。概率困难derivation未尝试面试订阅433存活指数变量的条件方差设 X \sim Exp ( )。利用无记忆性求 Var (X \mid X > t)（t > 0）。条件于存活是否改变方差？对 =5, t=2 给出数值。概率中等数值题未尝试免费435几何分布无记忆性的唯一性(a) 设正整数随机变量 N 满足 P(N>m+n \mid N>m)=P(N>n)。证明 N 必为几何分布。 (b) 对 N \sim Geom (p)，用无记忆性求 E[N 2 \mid N>k]，验证 Var (N \mid N>k) = Var (N)。概率困难derivation未尝试面试订阅438无记忆最小值下的机器替换工厂运行 3 台寿命独立 Exp (1) 的机器。故障机器即时替换为全新同型机器，其余机器由无记忆性继续运行。求 [0,10] 内期望替换次数。概率中等数值题未尝试免费442由无记忆性推导常数风险率设备寿命 X 的生存函数 F (t)，风险率 h(t) = f(t)/ F (t)。证明无记忆性等价于 h(t) = （常数），从而 X \sim Exp ( )。概率中等derivation未尝试免费443串联系统更换成本机器有两个串联关键组件：A 寿命 Exp (3)，B 寿命 Exp (5)，独立。任一失效则机器停止，更换失效组件（A 费 20，B 费 50），两组件均重新开始。求长期单位时间期望更换成本。概率中等数值题未尝试免费445指数混合分布的无记忆性失效设 X 的密度为 f(x) = 1 2 e -x + 5 2 e -5x （ Exp (1) 和 Exp (5) 的等权混合）。 (a) 求 P(X>s+t \mid X>s) 并证明其依赖于 s。 (b) 计算 P(X>2 \mid X>1) 并与 P(X>1) 比较。 (c) 解释：当 s 增大时条件分布如何变化？概率困难multi part未尝试面试订阅453呼叫中心溢出的泊松正态近似一个呼叫中心以泊松过程接收电话，速率 = 4 次/分钟。中心每班运营 8 小时（480 分钟）。每班最多处理 2000 个电话。 利用正态近似，估计单班电话总量超过 2000 的概率。 可使用 \Phi(1.83) \approx 0.9664。概率中等数值题未尝试免费454偏态伯努利和的Berry-Esseen界设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Bernoulli (0.01)，n = 10 , 000，S n = X i。 **(a)** 用 CLT 近似 P(S n \le 80)。 **(b)** Berry-Esseen 定理：\sup x |P(Z n \le x) - \Phi(x)| \le C 3 n ，其中 = E[|X 1 - | 3]，C \le 0.4748。计算 (a) 的近似误差上界。 可使用 \Phi(-2) \approx 0.0228。概率中等derivation未尝试免费455随机收益几何均值的大数定律与中心极限定理设 X 1, X 2, \ldots 为 i.i.d.，P(X i=1) = P(X i=0) = 1/2。定义 Y n = (\prod i=1 n (1+X i) ) 1/n . **(a)** 求 \lim n Y n（几乎必然）。 **(b)** 对 n=200，用 CLT 近似 P(Y 200 > 1.45)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(1.02) \approx 0.8461。概率困难derivation未尝试免费458经验频率精度的 CLT 估计一枚偏斜骰子出现六点的概率为 p = 1/3，独立投掷 n = 900 次，记 p 为六点出现的频率。 **(a)** 陈述大数定律对 p （n ）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P(| p - 1/3| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.27) \approx 0.8980。概率中等数值题未尝试免费460样本均值平方根的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Exp (4)（E[X i] = 1/4， Var (X i) = 1/16）。定义 T n = X n 。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (T n - ) 的渐近分布。 **(b)** 当 n = 256 时，近似 P(T 256 > 0.525)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费463泊松分布的库存缺货概率仓库每周储备 240 件产品，周需求服从 Poisson (225)。用正态近似求某周需求超过库存的概率。 可使用 \Phi(1.00) \approx 0.8413。概率中等数值题未尝试免费464Gamma 样本均值对数的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Gamma (2,1)（E[X i]=2， Var (X i)=2）。定义 W n = \ln( X n)。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (W n - \ln 2) 的渐近分布。 **(b)** n = 200 时，近似 P(W n < 0.6)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(-1.86) \approx 0.0314。概率困难derivation未尝试免费466选举民调误差范围的 CLT 估计民调调查 n = 1600 名选民以估计支持率 p = 0.5。用 CLT 近似 P(| p - 0.5| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率简单数值题未尝试免费468保险索赔总量的 CLT 近似保险公司有 300 个独立保单持有人，每人每年索赔次数 \sim Poisson (3)。设 T = N i 为总索赔次数。 用 CLT 近似 P(T > 960)。 可使用 \Phi(2.00) \approx 0.9772。概率中等数值题未尝试免费470样本中位数的渐近分布设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，M n 为样本中位数。渐近理论给出 n (M n - m) \xrightarrow d N(0, 1/(4[f(m)] 2))。 **(a)** 对 Uniform (0,1)，求 m、f(m) 及渐近方差。 **(b)** n=400 时，近似 P(M 400 > 0.54)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费472给定估计精度的最小样本量随机变量 X 均值 =5，标准差 =2。观测 n 个独立副本。 用 CLT 求最小 n 使得 P(| X n - 5| > 0.3) < 0.05。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975。概率简单数值题未尝试免费