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非代码面试题
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026两道筛查给出冲突证据后的后验一笔贷款先验上有 0.3 的概率是坏账。筛查 A 对坏账的命中率是 0.8，对健康贷款的误报率是 0.1。任何被 A 标记的贷款都会再进入筛查 B；B 对坏账的通过率是 0.25，对健康贷款的通过率是 0.70。若现在观察到“被 A 标记、但未通过 B”，这笔贷款是坏账的后验概率是多少？概率简单数值题未尝试免费035先阳后阴的后验某模型风险事件的先验概率为 1/50。若事件真实发生，则“初筛阳性、人工复核阴性”的条件概率分别为 9/10 与 1/10；若事件未发生，这两个条件概率分别为 1/5 与 4/5。若观察到的序列是“先阳后阴”，求事件的后验概率。概率困难数值题未尝试面试订阅037两次正确判断后的后验某分析师是高能力分析师的先验概率为 2/5。高能力分析师每次预测正确的概率为 4/5，低能力分析师则为 11/20。若两次独立预测都正确，求该分析师是高能力分析师的后验概率。概率简单数值题未尝试免费039双重告警后验某笔交易是恶意交易的先验概率为 1/40。两套独立告警引擎在恶意交易上的触发概率都是 7/10，在正常交易上的触发概率都是 1/20。若两套引擎都触发，求交易为恶意的后验概率。概率中等数值题未尝试免费045多分析师信号融合与顺序更新某交易台从三位独立分析师获取方向性预测。市场将「上涨」或「下跌」，先验各为 1 2 。给定真实状态后每位分析师独立地以如下概率预测正确方向： - 分析师 1：准确率 0.8 - 分析师 2：准确率 0.7 - 分析师 3：准确率 0.9 (a) 三位分析师均预测「上涨」。求 P( 上涨 \mid 三人均说上涨 )。 (b) 分析师 1 和 2 预测「上涨」，但分析师 3 预测「下跌」。求 P( 上涨 \mid U 1, U 2, D 3)。 (c) 证明 (b) 的后验可通过顺序贝叶斯更新逐一处理各分析师的信号得到，且最终结果与更新顺序无关。用两种不同顺序分别计算以验证。概率困难derivation未尝试面试订阅046两次红球后的后验一个隐藏盒子等概率是 A 或 B。盒子 A 抽到红球的概率是 4/5，盒子 B 则是 1/3。独立有放回抽两次，结果都为红。求盒子是 A 的后验概率。概率简单数值题未尝试免费049神秘硬币鉴别一个盒子中有三枚硬币，被选中的概率相等： - **硬币 F**（公平）：P(H)= 1 2 - **硬币 H**（偏正面）：P(H)= 3 4 - **硬币 T**（偏反面）：P(H)= 1 4 随机取一枚硬币抛三次，得到序列 H, T, H（给定硬币类型后各次独立）。 (a) 求硬币为每种类型的后验概率。 (b) 求第四次抛出正面的条件概率。概率困难数值题未尝试免费055独立事件在条件化后变为依赖设 A 和 B 为独立事件，P(A) = P(B) = 1/2。定义 D = A \triangle B（A 和 B 恰好有一个发生）。(a) 计算 P(D)、P(A \mid D) 和 P(A \cap B \mid D)。(b) 给定 D 时，A 和 B 是否条件独立？(c) 给定 D c 时，A 和 B 是否条件独立？概率困难derivation未尝试面试订阅059所有三元组独立但四元组不独立设 \Omega = \ 0, 1, 2, \ldots, 7\ ，等概率 P(\ \omega\ ) = 1/8。将每个 \omega 写成二进制 (b 2, b 1, b 0)。定义事件： A = \ \omega : b 0 = 1\ , \quad B = \ \omega : b 1 = 1\ , \quad C = \ \omega : b 2 = 1\ , \quad D = \ \omega : b 0 \oplus b 1 \oplus b 2 = 1\ . (a) 证明 A、B、C 相互独立。(b) 证明 \ A,B,C,D\ 中任选三个事件均相互独立。(c) 证明 A、B、C、D 不是相互独立的。概率困难derivation未尝试面试订阅060与布尔组合的独立性需要相互独立设 A、B、C 为事件。(a) 证明：若 A、B、C 相互独立，则 A 与 B \cap C c 独立。(b) 设 \Omega = \ 1,2,3,4\ ，等概率，A = \ 1,2\ ，B = \ 1,3\ ，C = \ 1,4\ 。验证 A、B、C 两两独立但非相互独立。(c) 计算 P(A \cap (B \cap C c)) 和 P(A) P(B \cap C c)。A \perp\!\!\perp (B \cap C c) 是否成立？概率困难derivation未尝试面试订阅065独立分布的混合破坏独立性一枚均匀硬币：正面朝上时令 (X, Y) = (1, 1)；反面朝上时独立地抽取 X, Y \sim Bernoulli (1/2)。(a) 求 (X, Y) 的完整联合分布。(b) 证明 X 和 Y 的边缘分布相同。(c) X 和 Y 是否独立？证明你的结论。(d) 计算 P(X = 1 \mid Y = 0)，并与 P(X = 1) 比较。解释结果。概率困难derivation未尝试面试订阅070两两独立且三元独立但四事件非相互独立设 \Omega 为所有含偶数个 1 的长度为 4 的二进制串，等概率： \Omega = \ 0000,\, 0011,\, 0101,\, 0110,\, 1001,\, 1010,\, 1100,\, 1111\ . 定义事件 A i = \ \omega \in \Omega : \omega i = 1\ ，i=1,2,3,4。 (a) 证明每个 P(A i) = 1/2。 (b) 验证所有两两独立：对所有 i j，P(A i \cap A j) = 1/4。 (c) 验证所有三元独立：对所有不同的 i,j,k，P(A i \cap A j \cap A k) = 1/8。 (d) 计算 P(A 1 \cap A 2 \cap A 3 \cap A 4) 并与 P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4) 比较。四个事件是否相互独立？概率困难derivation未尝试面试订阅077星期二男孩问题一个家庭恰好有两个孩子。已知其中至少有一个是在星期二出生的男孩。假设每个孩子是男是女的概率相等，出生在一周七天中任何一天的概率也相等，且所有这些均相互独立。问两个孩子都是男孩的概率是多少？概率简单数值题未尝试免费079四门蒙提霍尔问题有四扇门：一扇后面是汽车，另外三扇后面是山羊。你选择了1号门。知情的主持人从剩余门中打开一扇山羊门（在可选的山羊门中等概率选择），他打开了4号门。现在你有两个选择：(a) 坚持1号门；(b) 从未打开的门（2号或3号）中等概率随机选一扇切换。每种选择赢得汽车的概率分别是多少？是否存在更优的第三种策略？概率中等数值题未尝试免费080双信封悖论两个信封各装有一笔正数金额，其中一个恰好是另一个的两倍。你随机选一个信封，打开发现里面有 x 元。朴素论证如下：另一个信封等可能是 2x 或 x/2，因此换信封的期望值为 (1/2)(2x) + (1/2)(x/2) = 5x/4 > x，应该总是换——但这导致无限来回切换的荒谬结论。(a) 精确指出朴素论证中的谬误。(b) 假设较小金额 S 服从某个已知的真概率分布且 E[S] = < ，证明无条件换信封的期望收益为零。(c) 解释为什么条件于观察到 x 时，对于某些 x 值换信封是理性的，而对于另一些 x 值则不是。概率困难derivation未尝试面试订阅081贝特朗盒子悖论三个盒子各装有两枚硬币。盒子1有两枚金币，盒子2有一枚金币和一枚银币，盒子3有两枚银币。你等概率随机选一个盒子，再从中随机取出一枚硬币，发现是金币。问同一盒子中另一枚硬币也是金币的概率是多少？概率简单数值题未尝试免费082睡美人问题睡美人参加如下实验。周日她被催眠入睡。掷一枚公平硬币：若正面朝上，她仅在周一被唤醒；若反面朝上，她在周一和周二各被唤醒一次（周二唤醒前她对周一的记忆会被清除）。每次醒来时她被问：'你认为硬币正面朝上的置信度是多少？'她完全了解实验规则。(a) 给出她应该回答 1/3 的论证（'三分之一派'立场）。(b) 给出她应该回答 1/2 的论证（'二分之一派'立场）。(c) 假设实验独立重复1000次。若睡美人每次醒来以1:1赔率用\1赌正面，她在所有醒来次数上的期望净收益或损失是多少？这对两种立场有何启示？概率中等derivation未尝试免费083领带悖论Alice 和 Bob 各收到一条领带作为礼物。两条领带的价格不同且均为正值。双方都不知道任何一条领带的价格。他们约定比较：领带较便宜的一方赢得对方的领带。Alice 推理：'如果我的领带值 x，那么我要么赢得一条价值超过 x 的领带，要么输掉一条价值 x 的领带。由于两种情况各占一半，我的期望收益为正。' Bob 做出完全相同的论证。两人都认为游戏对自己有利——但这在零和交换中构成矛盾。(a) 精确指出 Alice 推理中的谬误。(b) 假设第三方抽取 V \sim Uniform (1, 100)，将两条领带定价为 V 和 2V 并随机分配给 Alice 和 Bob。若 Alice 看到自己的领带标价为 x，她参与游戏的期望收益是 x 的什么函数？证明无条件期望收益为零。概率中等derivation未尝试免费084非传递骰子三个骰子的面值如下。骰子A： 2, 2, 4, 4, 9, 9 。骰子B： 1, 1, 6, 6, 8, 8 。骰子C： 3, 3, 5, 5, 7, 7 。每个骰子均匀公平。两名玩家各选一个骰子掷出，点数大者获胜。(a) 计算 P(A > B)、P(B > C) 和 P(C > A)。(b) 证明这些骰子是非传递的：A倾向于赢B，B倾向于赢C，但C倾向于赢A。(c) 在一个游戏中，对手先选骰子，然后你选。在每种情况下你应该选哪个骰子？你的获胜概率是多少？概率中等数值题未尝试免费085检验悖论（公交等待时间）公交车按泊松过程以速率 到站（即到达间隔时间为独立同分布的 Exp ( )，均值 1/ ）。你在一个与公交时刻表无关的随机时间到达车站。令 L 为包含你到达时刻的那个到达间隔的长度——即你到达前最后一班车与你到达后下一班车之间的时间。(a) 求 E[L]。解释为什么它不等于 1/ ，尽管到达间隔的均值是 1/ 。(b) 求你的期望等待时间 E[W]（从到达到下一班车）。(c) 一位城市官员调查乘客并询问等待时间。如果报告的平均值为 1/ ，交通管理部门应该感到惊讶吗？用检验悖论解释。概率困难derivation未尝试面试订阅