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非代码面试题
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160不同生日数的期望与方差在 n 人的生日独立均匀分布于 \ 1, \ldots, d\ 的设定下，令 D 为观察到的不同生日天数。 (a) 用指示随机变量推导 E[D]。 (b) 推导 Var (D)。需要计算 P( 第 j 天和第 k 天均有人 )（j \ne k）。 (c) 当 n = 100、d = 365 时，计算 E[D]、 Var (D) 以及期望的「碰撞人数」n - D。 (d) E[n - D] 与指示对方法得到的期望碰撞对数 \binom n 2 /d 是否相同？解释两者的区别。概率困难derivation未尝试面试订阅185优惠券收集问题：均值与方差一台机器每次等概率地发放 n=4 种奖品类型中的一种。令 T 为集齐全部4种所需的次数。通过将 T 分解为独立的几何阶段，推导 E[T] 和 Var (T)，以精确分数表示。概率困难derivation未尝试免费194非空盒子数量的方差将4个可区分的球独立且均匀随机地投入3个可区分的盒子中。令 N 为非空盒子的数量。求 Var (N)。给出精确分数。概率困难数值题未尝试免费248高斯混合的均值、方差与双峰性随机变量 X 服从两个正态的混合分布：以概率 p 从 N(\mu 1, \sigma 1 2) 抽样，以概率 1-p 从 N(\mu 2, \sigma 2 2) 抽样。 (a) 用 p, \mu 1, \mu 2, \sigma 1 2, \sigma 2 2 表达 E[X] 和 Var (X)。 (b) 在对称情形（p = 1/2，\sigma 1 = \sigma 2 = ）下，证明混合 PDF 为双峰当且仅当 |\mu 1 - \mu 2| > 2 。 (c) 当 p = 1/2，\mu 1 = -2，\mu 2 = 2， = 1 时计算 E[X] 和 Var (X)，并验证双峰性。概率中等derivation未尝试免费333随机次数抛硬币的全方差公式先抽取 N \sim Poisson (5)，然后在给定 N = n 的条件下掷 n 次公平硬币，令 X 为正面次数。求 Var (X)。概率中等数值题未尝试免费337独立变量之差的方差设 X 与 Y 独立， Var (X) = 4， Var (Y) = 9。一位同学声称 SD (X - Y) = SD (X) - SD (Y) = 2 - 3 = -1。求 Var (X - Y) 和 SD (X - Y) 的正确值，并解释该同学的错误。概率简单数值题未尝试免费338两个独立均匀变量之积的方差设 X 和 Y 独立，均服从 [0,1] 上的均匀分布。求 Var (XY)。概率中等数值题未尝试免费339二元正态的条件方差设 (X, Y) 服从二元正态分布，E[X] = E[Y] = 0， Var (X) = 1， Var (Y) = \sigma Y 2， Corr (X,Y) = 。推导 Var (Y \mid X = x) 并说明其不依赖于 x。对 \sigma Y = 3、 = 0.6 求数值。概率困难derivation未尝试免费344用 Delta 方法近似比率的方差设 X 和 Y 独立，E[X] = 10， Var (X) = 4，E[Y] = 5， Var (Y) = 1。利用 Delta 方法（一阶 Taylor 展开）推导 Var (X/Y) 的近似公式并求数值。概率困难derivation未尝试免费350正态总体样本方差的精确方差设 X 1, \ldots, X n iid N( , 2)，样本方差 S 2 = 1 n-1 \sum i=1 n(X i - X ) 2。 (a) 确定 (n-1)S 2/ 2 的分布，据此推导 Var (S 2) 的精确公式。 (b) 当 n=10、 2=3 时求 Var (S 2)。概率困难derivation未尝试免费353随机和的二阶矩——塔性质设 N \sim Poisson (4)，给定 N=n 时，S = X 1 + \cdots + X n，其中 X i \stackrel iid \sim Uniform (0,1)。利用塔性质与 E[S 2 \mid N] = Var (S \mid N) + (E[S \mid N]) 2 求 E[S 2]。概率中等数值题未尝试免费355Beta-二项分布的矩——Adam 定律与 Eve 定律设 P \sim Beta (2,3)，给定 P=p 时 X \sim Binomial (10,p)。利用 Adam 定律（E[X]=E[E[X \mid P]]）和 Eve 定律（ Var (X)=E[ Var (X \mid P)]+ Var (E[X \mid P])）推导 E[X] 和 Var (X)。概率困难derivation未尝试免费358泊松复合指数和的全方差公式设 N \sim Poisson (3)，给定 N=n，S = X 1 + \cdots + X n，X i \stackrel iid \sim Exp (2)（速率 2）。利用全方差公式求 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费363伯努利切换指数速率的两层塔性质设 Z \sim Bernoulli (1/2)。Z=1 时 Y \sim Exp (1)，Z=0 时 Y \sim Exp (2)（速率参数）。给定 Y=y，X \sim Poisson (y)。利用迭代塔性质和 Eve 定律，求 E[X] 和 Var (X)。概率中等数值题未尝试免费365三层正态层级模型：迭代塔性质与平滑三层正态层级：Z \sim N(0,1)，Y \mid Z \sim N(Z,1)，X \mid Y \sim N(Y,1)。 (a) 利用迭代期望求 E[X] 和 Var (X)。 (b) 利用塔性质 E[X \mid Z] = E[E[X \mid Y] \mid Z] 求 E[X \mid Z]。 (c) 通过计算 Cov (X,Z) 并利用联合正态性验证 (b) 的结果。概率困难derivation未尝试免费367几何停止指数和的方差设 N \sim Geometric (1/2)（P(N=k)=(1/2) k，k=1,2,\ldots），给定 N 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布于 Exp (1)。令 S=X 1+\cdots+X N。利用全期望定律和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费369三层泊松-二项-均匀塔设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U 时 N \mid U \sim Poisson (10U)，给定 (N,U) 时 X \mid N,U \sim Binomial (N,U)。利用迭代塔性质和 Eve 定律求 E[X] 和 Var (X)。概率困难数值题未尝试免费373加法伯努利马尔可夫链中的两步塔设 X 1 \sim Uniform \ 0,1\ ，X 2=X 1+B 1，X 3=X 2+B 2，其中 B 1,B 2 独立同分布于 Bernoulli (1/2)。 (a) 利用塔性质求 E[X 3 \mid X 1] 和 E[X 3]。 (b) 利用 Eve 定律求 Var (X 3)。概率中等数值题未尝试免费374复合泊松和：均值和方差（Eve 定律）设 N \sim Poisson (4)，给定 N 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布，E[X i]=3， Var (X i)=2。令 S=X 1+\cdots+X N。利用塔性质和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费375共享速率的泊松-指数和：双层塔与 Eve 定律设 Z \sim Uniform (1,3)，给定 Z 时 N \mid Z \sim Poisson (Z)，给定 (N,Z) 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布于 Exp (Z)（速率参数）。令 S=X 1+\cdots+X N。利用迭代塔性质和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率困难derivation未尝试免费