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非代码面试题
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2833复合泊松批量模型中的总和为零设 N\sim Poisson (3)，并且批次大小 B i 独立同分布，满足 \[ P(B i=0)=0.2,\quad P(B i=1)=0.5,\quad P(B i=2)=0.3. \] 记 S=\sum i=1 N B i。请用 PGF 计算 P(S=0)。概率中等derivation未尝试面试订阅2834两阶段抽稀可合并为一步一个计数变量 X 先以保留概率 p 做一次独立抽稀，然后对保留下来的每个对象再以概率 q 做一次独立抽稀。证明最终保留下来的计数的 PGF 为 G X(1-pq+pq\,s)。概率中等derivation未尝试面试订阅2835几何父计数与偶数批量设 N 在 \ 0,1,2,\dots\ 上服从几何分布 P(N=n)=\frac13 (\frac23 ) n。在给定 N 的条件下，令 \[ S=\sum i=1 N B i, \] 其中 P(B i=0)=P(B i=2)=1/2。请用 PGF 计算 P(S=4)。概率中等derivation未尝试面试订阅2836固定批量大小为 2设 N\sim Poisson ( )，并定义 S=2N。求 S 的 PGF，并给出 P(S 为奇数 ) 与 E[S]。概率中等derivation未尝试面试订阅2837一步中的移民加分枝设 Z t 是一个带移民的分枝过程。第 t 代中的每个个体都独立地产生子代，其子代 PGF 为 \phi(s)；另外，在下一代还会独立到来一批移民，其个数的 PGF 为 \psi(s)。请用 Z t 的 PGF 表示 Z t+1 的 PGF。概率中等derivation未尝试面试订阅2838几何计数之和设 X 1,\dots,X r 独立同分布，且都服从定义在 \ 0,1,2,\dots\ 上的几何分布 \[ P(X i=k)=p(1-p) k. \] 用 PGF 识别 S=X 1+\cdots+X r 的分布，并计算 E[S]。概率中等derivation未尝试面试订阅2840泊松个数的几何票据发生器设 N\sim Poisson (3)。在给定 N 的条件下，定义 \[ S=\sum i=1 N B i, \] 其中每个 B i 在 \ 0,1,2,\dots\ 上服从参数为 p=1/4 的几何分布，即 P(B i=k)=\frac14(\frac34) k。求 S 的 PGF，并计算 E[S]。概率中等derivation未尝试面试订阅2841带符号复合泊松订单流把市场买单记为 +1、卖单记为 -1。一分钟内的成交笔数满足 N\sim Poisson ( )；在给定发生一笔成交时，其符号以概率 p 取 +1，以概率 1-p 取 -1，且彼此独立。记该分钟的净带符号订单流为 S。求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2842指数跳幅的复合泊松和理赔笔数满足 N\sim Poisson ( )。理赔金额 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，且服从参数为 的指数分布，并与 N 独立。记 S=\sum i=1 N X i。求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅2843Gamma-泊松混合得到负二项计数潜在强度 \Lambda 服从形状参数为 、率参数为 的 Gamma ( , ) 分布。在给定 \Lambda 的条件下，计数变量 N 服从 Poisson (\Lambda)。用 MGF 判断 N 的无条件分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2844几何个指数阶段之和一个任务会经历几何个阶段：N 的取值集合为 \ 1,2,\dots\ ，且 P(N=n)=p(1-p) n-1 。每个阶段的持续时间独立同分布，服从参数为 的指数分布，并与 N 独立。记 T=\sum i=1 N X i。用 MGF 判断 T 的分布。概率困难derivation未尝试面试订阅2845从 MGF 识别平移后的泊松分布某随机变量的 MGF 为 \[ M X(t)=\exp\!\bigl(2t+3(e t-1)\bigr). \] 识别 X 的分布，并计算 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试面试订阅2848从联合 MGF 读取协方差设 \[ M X,Y (s,t)=\exp\!\bigl(2s-t+2s 2+3st+\tfrac52 t 2\bigr). \] 计算 E[X]、E[Y]、 Var (X)、 Var (Y) 以及 Cov (X,Y)。概率中等derivation未尝试面试订阅2849两个指数变量之差设 X,Y\overset i.i.d. \sim Exponential ( )。用 MGF 判断 D=X-Y 的分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2850两个独立泊松计数之差设 X\sim Poisson (\lambda 1)、Y\sim Poisson (\lambda 2) 相互独立。求 D=X-Y 的特征函数，并计算 E[D] 和 Var (D)。概率中等derivation未尝试面试订阅2851用特征函数证明 Rademacher 的中心极限定理设 X 1,X 2,\dots 相互独立同分布，且 P(X i=1)=P(X i=-1)=1/2。请用特征函数证明 \[ X 1+\cdots+X n n \Rightarrow N(0,1). \]概率困难derivation未尝试面试订阅2852Cauchy 样本均值仍是 Cauchy设 X 1,\dots,X n 为相互独立同分布的标准 Cauchy 随机变量，其特征函数为 \phi(u)=e -|u| 。用特征函数证明样本均值 (X 1+\cdots+X n)/n 仍服从标准 Cauchy 分布。概率中等derivation未尝试面试订阅2853用中心化特征函数得到泊松到正态的极限设 N \sim Poisson ( )。请直接使用特征函数证明 \[ N - \Rightarrow N(0,1) \quad 当 . \]概率困难derivation未尝试面试订阅2854稀有事件下二项分布到泊松分布设 X n\sim Binomial (n, /n)，其中 >0 固定。用特征函数证明 X n\Rightarrow Poisson ( )。概率中等derivation未尝试面试订阅2856高斯跳幅的复合泊松和设 N\sim Poisson ( )，并且 Y 1,Y 2,\dots 相互独立同分布，服从 N( , 2)，且与 N 独立。对 \[ S=\sum k=1 N Y k, \] 求 S 的 MGF，并计算 E[S] 和 Var (S)。概率中等derivation未尝试面试订阅