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非代码面试题
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425两个最小指数顺序统计量之比设 X 1, X 2 为独立的 Exp (1) 随机变量，顺序统计量为 X (1) \le X (2) 。定义 U=X (1) /X (2) 。概率困难multi part未尝试面试订阅429几何次几何试验赌徒进行若干轮游戏。每轮中抛一枚 P( 正面 ) = p 的硬币直到出现正面，该轮抛掷次数为 Geom (p)。轮数本身为 Geom (q)（与抛硬币独立）。设 S 为总抛掷次数。利用几何分布的无记忆性，证明 S \sim Geom (pq) 并求 E[S]。概率中等derivation未尝试免费430无记忆性的刻画与剩余寿命悖论(a) 设 X 为连续正随机变量，满足 P(X > s+t \mid X > s) = P(X>t)。证明 X 必为指数分布。 (b) 灯泡寿命 L 的 CDF 为 F(t) = 1 - 1 2 e -t - 1 2 e -3t 。你在随机时刻到达观察正在使用的灯泡，设 R 为其剩余寿命。证明 E[R] > E[L] 并计算两个值。解释为何无记忆性的缺失导致此悖论。概率困难derivation未尝试面试订阅435几何分布无记忆性的唯一性(a) 设正整数随机变量 N 满足 P(N>m+n \mid N>m)=P(N>n)。证明 N 必为几何分布。 (b) 对 N \sim Geom (p)，用无记忆性求 E[N 2 \mid N>k]，验证 Var (N \mid N>k) = Var (N)。概率困难derivation未尝试面试订阅442由无记忆性推导常数风险率设备寿命 X 的生存函数 F (t)，风险率 h(t) = f(t)/ F (t)。证明无记忆性等价于 h(t) = （常数），从而 X \sim Exp ( )。概率中等derivation未尝试免费445指数混合分布的无记忆性失效设 X 的密度为 f(x) = 1 2 e -x + 5 2 e -5x （ Exp (1) 和 Exp (5) 的等权混合）。 (a) 求 P(X>s+t \mid X>s) 并证明其依赖于 s。 (b) 计算 P(X>2 \mid X>1) 并与 P(X>1) 比较。 (c) 解释：当 s 增大时条件分布如何变化？概率困难multi part未尝试面试订阅450指数竞赛中的先发优势设 X \sim Exp ( )，Y \sim Exp ( ) 独立。A 在时刻 X 完成，B 在时刻 Y + c（c > 0）完成。 (a) 推导 P(X < Y + c)。 (b) 当 c 0 时恢复标准竞争指数公式。 (c) 对 =3, =2, c=1 求值并解释。概率困难multi part未尝试面试订阅451硬币翻转计数的正态近似一枚公平硬币独立抛掷 n = 400 次。设 S 为正面朝上的总次数。利用中心极限定理，近似求 P(190 \le S \le 210)。 可使用 \Phi(1) \approx 0.8413，其中 \Phi 为标准正态分布函数。概率简单数值题未尝试免费452指数服务时间的样本均值一台服务器处理 100 个独立请求，每个请求时间 Exp (1)（均值 1 秒）。设 T = 1 100 \sum i=1 100 T i。 **(a)** 陈述大数定律对 T （n 时）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P( T > 1.2)。可使用 \Phi(2) \approx 0.9772。概率简单数值题未尝试免费453呼叫中心溢出的泊松正态近似一个呼叫中心以泊松过程接收电话，速率 = 4 次/分钟。中心每班运营 8 小时（480 分钟）。每班最多处理 2000 个电话。 利用正态近似，估计单班电话总量超过 2000 的概率。 可使用 \Phi(1.83) \approx 0.9664。概率中等数值题未尝试免费454偏态伯努利和的Berry-Esseen界设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Bernoulli (0.01)，n = 10 , 000，S n = X i。 **(a)** 用 CLT 近似 P(S n \le 80)。 **(b)** Berry-Esseen 定理：\sup x |P(Z n \le x) - \Phi(x)| \le C 3 n ，其中 = E[|X 1 - | 3]，C \le 0.4748。计算 (a) 的近似误差上界。 可使用 \Phi(-2) \approx 0.0228。概率中等derivation未尝试免费455随机收益几何均值的大数定律与中心极限定理设 X 1, X 2, \ldots 为 i.i.d.，P(X i=1) = P(X i=0) = 1/2。定义 Y n = (\prod i=1 n (1+X i) ) 1/n . **(a)** 求 \lim n Y n（几乎必然）。 **(b)** 对 n=200，用 CLT 近似 P(Y 200 > 1.45)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(1.02) \approx 0.8461。概率困难derivation未尝试免费456生产批次中的缺陷品某工厂独立生产产品，每件缺陷概率 p = 0.03。检验一批 n = 500 件产品，设 D 为缺陷品数。 用中心极限定理近似 P(D \le 20)。 可使用 \Phi(1.30) \approx 0.9032。概率简单数值题未尝试免费457均匀随机变量之和超过阈值设 U 1, \ldots, U 60 为独立 Uniform (0,1) 随机变量，S = \sum i=1 60 U i。 用 CLT 近似 P(S > 35)。 可使用 \Phi(2.24) \approx 0.9875。概率中等数值题未尝试免费458经验频率精度的 CLT 估计一枚偏斜骰子出现六点的概率为 p = 1/3，独立投掷 n = 900 次，记 p 为六点出现的频率。 **(a)** 陈述大数定律对 p （n ）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P(| p - 1/3| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.27) \approx 0.8980。概率中等数值题未尝试免费459正态近似中的连续性修正设 S \sim Bin (200, 0.45)。用带连续性修正的 CLT 近似 P(S = 85)。 提示：对离散整数随机变量，P(S = k) \approx \Phi\! ( k+0.5- ) - \Phi\! ( k-0.5- )。 可使用：\Phi(-0.64) \approx 0.2611，\Phi(-0.78) \approx 0.2177。概率中等数值题未尝试免费460样本均值平方根的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Exp (4)（E[X i] = 1/4， Var (X i) = 1/16）。定义 T n = X n 。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (T n - ) 的渐近分布。 **(b)** 当 n = 256 时，近似 P(T 256 > 0.525)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费461公平骰子之和的 CLT 近似掷 100 个独立公平六面骰子，设 S 为点数之和。 用 CLT 近似 P(340 \le S \le 380)。 可使用 \Phi(0.58) \approx 0.7190，\Phi(1.75) \approx 0.9599。概率简单数值题未尝试免费462蒙特卡洛估计圆周率与大数定律在单位正方形 [0,1] 2 上均匀独立抽取 n = 10 , 000 个点 (X i, Y i)。定义 Z i = 1 (X i 2 + Y i 2 \le 1)， = 4 Z 。 **(a)** 解释为什么 E[ ] = 以及 a.s.。 **(b)** 用 CLT，对 Z = 0.7854 给出 的近似 95\% 置信区间。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975， \approx 3.1416。概率简单数值题未尝试免费463泊松分布的库存缺货概率仓库每周储备 240 件产品，周需求服从 Poisson (225)。用正态近似求某周需求超过库存的概率。 可使用 \Phi(1.00) \approx 0.8413。概率中等数值题未尝试免费