第 4 / 5 页
非代码面试题
显示 20 / 82 道匹配题目
答题状态：未尝试未正确已正确
ID题目领域难度题型进度权限
072覆盖样本空间的独立事件设 A 和 B 独立且 P(A \cup B) = 1。(a) 证明 (1 - P(A))(1 - P(B)) = 0。(b) 这对 P(A) 和 P(B) 有何限制？(c) 在 \Omega = \ 1,2,3,4\ 均匀概率下，给出满足条件的 A、B 并验证。概率简单derivation未尝试免费073整除事件与包含陷阱设 \Omega = \ 0,1,\ldots,11\ ，等概率。A = 偶数，B = 3 的倍数，C = 4 的倍数。(a) 列出各事件并求概率。(b) 对三对 (A,B)、(A,C)、(B,C) 分别判断独立性。(c) 解释失败的原因。概率中等derivation未尝试免费074校验位破坏四阶独立性设 \Omega = \ 0,\ldots,15\ （4位二进制串），等概率。定义 A i = \ b i = 1\ （i=1,2,3），A 4 = \ b 1 \oplus b 2 \oplus b 3 = 1\ 。(a) 证明每个 P(A i) = 1/2。(b) 证明 \ A 1,A 2,A 3,A 4\ 是 3-wise 独立的。(c) 计算 P(A 1 \cap A 2 \cap A 3 \cap A 4)，说明 4-wise 独立性失败。(d) 解释校验位为何在结构上受限于 A 1,A 2,A 3。概率困难derivation未尝试免费075随机排列的不动点不是独立的从 \ 1,2,3,4\ 的全排列中等概率选取 。定义 A i = \ (i) = i\ 。(a) 证明 P(A i) = 1/4，P(A i \cap A j) = 1/12。(b) A i 与 A j 是否独立？(c) 计算三元和四元交集概率。(d) 验证容斥恒等式 P(\bigcup A i) = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4!。概率困难derivation未尝试免费076无知主持人的蒙提霍尔问题游戏中有三扇门，一扇门后是汽车，另外两扇门后是山羊。你选择了1号门。主持人**不知道**汽车在哪里，随机打开了3号门，恰好露出了一只山羊。在已知主持人碰巧露出山羊（而非汽车）的条件下，汽车在2号门后面的概率是多少？请与经典蒙提霍尔问题（主持人始终知情并故意打开山羊门）进行比较。概率简单数值题未尝试免费077星期二男孩问题一个家庭恰好有两个孩子。已知其中至少有一个是在星期二出生的男孩。假设每个孩子是男是女的概率相等，出生在一周七天中任何一天的概率也相等，且所有这些均相互独立。问两个孩子都是男孩的概率是多少？概率简单数值题未尝试免费078辛普森悖论与临床试验一项临床试验在两个亚组中测试某药物。亚组A（轻症）：治疗组 81/87（93%）康复，对照组 234/270（87%）康复。亚组B（重症）：治疗组 192/263（73%）康复，对照组 55/80（69%）康复。药物在两个亚组中均提高了康复率。现在计算合并两个亚组后的治疗组和对照组的总体康复率，解释表面上的矛盾，并指出引起该矛盾的混杂变量。概率中等derivation未尝试免费079四门蒙提霍尔问题有四扇门：一扇后面是汽车，另外三扇后面是山羊。你选择了1号门。知情的主持人从剩余门中打开一扇山羊门（在可选的山羊门中等概率选择），他打开了4号门。现在你有两个选择：(a) 坚持1号门；(b) 从未打开的门（2号或3号）中等概率随机选一扇切换。每种选择赢得汽车的概率分别是多少？是否存在更优的第三种策略？概率中等数值题未尝试免费080双信封悖论两个信封各装有一笔正数金额，其中一个恰好是另一个的两倍。你随机选一个信封，打开发现里面有 x 元。朴素论证如下：另一个信封等可能是 2x 或 x/2，因此换信封的期望值为 (1/2)(2x) + (1/2)(x/2) = 5x/4 > x，应该总是换——但这导致无限来回切换的荒谬结论。(a) 精确指出朴素论证中的谬误。(b) 假设较小金额 S 服从某个已知的真概率分布且 E[S] = < ，证明无条件换信封的期望收益为零。(c) 解释为什么条件于观察到 x 时，对于某些 x 值换信封是理性的，而对于另一些 x 值则不是。概率困难derivation未尝试面试订阅081贝特朗盒子悖论三个盒子各装有两枚硬币。盒子1有两枚金币，盒子2有一枚金币和一枚银币，盒子3有两枚银币。你等概率随机选一个盒子，再从中随机取出一枚硬币，发现是金币。问同一盒子中另一枚硬币也是金币的概率是多少？概率简单数值题未尝试免费082睡美人问题睡美人参加如下实验。周日她被催眠入睡。掷一枚公平硬币：若正面朝上，她仅在周一被唤醒；若反面朝上，她在周一和周二各被唤醒一次（周二唤醒前她对周一的记忆会被清除）。每次醒来时她被问：'你认为硬币正面朝上的置信度是多少？'她完全了解实验规则。(a) 给出她应该回答 1/3 的论证（'三分之一派'立场）。(b) 给出她应该回答 1/2 的论证（'二分之一派'立场）。(c) 假设实验独立重复1000次。若睡美人每次醒来以1:1赔率用\1赌正面，她在所有醒来次数上的期望净收益或损失是多少？这对两种立场有何启示？概率中等derivation未尝试免费083领带悖论Alice 和 Bob 各收到一条领带作为礼物。两条领带的价格不同且均为正值。双方都不知道任何一条领带的价格。他们约定比较：领带较便宜的一方赢得对方的领带。Alice 推理：'如果我的领带值 x，那么我要么赢得一条价值超过 x 的领带，要么输掉一条价值 x 的领带。由于两种情况各占一半，我的期望收益为正。' Bob 做出完全相同的论证。两人都认为游戏对自己有利——但这在零和交换中构成矛盾。(a) 精确指出 Alice 推理中的谬误。(b) 假设第三方抽取 V \sim Uniform (1, 100)，将两条领带定价为 V 和 2V 并随机分配给 Alice 和 Bob。若 Alice 看到自己的领带标价为 x，她参与游戏的期望收益是 x 的什么函数？证明无条件期望收益为零。概率中等derivation未尝试免费084非传递骰子三个骰子的面值如下。骰子A： 2, 2, 4, 4, 9, 9 。骰子B： 1, 1, 6, 6, 8, 8 。骰子C： 3, 3, 5, 5, 7, 7 。每个骰子均匀公平。两名玩家各选一个骰子掷出，点数大者获胜。(a) 计算 P(A > B)、P(B > C) 和 P(C > A)。(b) 证明这些骰子是非传递的：A倾向于赢B，B倾向于赢C，但C倾向于赢A。(c) 在一个游戏中，对手先选骰子，然后你选。在每种情况下你应该选哪个骰子？你的获胜概率是多少？概率中等数值题未尝试免费085检验悖论（公交等待时间）公交车按泊松过程以速率 到站（即到达间隔时间为独立同分布的 Exp ( )，均值 1/ ）。你在一个与公交时刻表无关的随机时间到达车站。令 L 为包含你到达时刻的那个到达间隔的长度——即你到达前最后一班车与你到达后下一班车之间的时间。(a) 求 E[L]。解释为什么它不等于 1/ ，尽管到达间隔的均值是 1/ 。(b) 求你的期望等待时间 E[W]（从到达到下一班车）。(c) 一位城市官员调查乘客并询问等待时间。如果报告的平均值为 1/ ，交通管理部门应该感到惊讶吗？用检验悖论解释。概率困难derivation未尝试面试订阅086生日悖论假设生日在365天中均匀分布（忽略闰年）。(a) 23人的房间里至少两人同一天生日的精确概率是多少？(b) 推导一个简单的近似公式，求使同生日概率超过 1/2 所需的人数 n。(c) 一个交易台有50名交易员，经理声称有两名交易员同一天生日是'非凡的巧合'。经理说得对吗？计算概率并评论。概率简单数值题未尝试免费087赌徒谬误与热手谬误公平硬币抛掷100次。(a) 已知刚刚连续出现三次正面，下一次出现正面的概率是多少？一位赌徒坚持认为应该小于 1/2，因为'该出反面了'。请精确解释其错误。(b) 换一个场景：篮球运动员的投篮用马尔可夫链建模，P( 命中 \mid 上次命中 ) = 0.6，P( 命中 \mid 上次未中 ) = 0.4。连续三次命中后，下次命中的概率是多少？(c) Miller和Sanjurjo (2018)证明，即使是公平硬币，如果选取连续k次正面之后的抛掷并计算正面的样本比例，其期望严格小于1/2。为什么会这样？这对热手效应的实证研究有何启示？概率简单derivation未尝试免费088圣彼得堡悖论赌场提供以下游戏：反复抛掷公平硬币直到第一次出现反面。如果第 n 次出现第一个反面，你赢得 2 n 美元。(a) 计算游戏的期望收益。(b) 尽管(a)的答案如此，大多数人只愿支付约20美元来玩。用Daniel Bernoulli的方法解决这个悖论：假设玩家具有对数效用 u(x) = \ln(x) 和初始财富 W。计算游戏的期望效用，并求 W = 1 , 000 , 000 时的确定性等价额。(c) 更实际的解决方案：假设赌场总资本有限为 C。若赔付上限为 C = 2 40 （约1万亿美元），期望收益是多少？概率中等derivation未尝试免费089检察官谬误一座城市有1,000,000名居民。一人犯了罪。警方使用的法医检测假阳性率为万分之一（P( 阳性 \mid 无辜 ) = 10 -4 ），真阳性率为100%（P( 阳性 \mid 有罪 ) = 1）。一名嫌疑人检测呈阳性。(a) 检察官论证：'假阳性概率仅为 10 -4 ，所以此人无辜的概率只有0.01%。'这个论证有什么问题？(b) 假设嫌疑人在检测前从全市居民中随机选出，计算嫌疑人有罪的实际后验概率。(c) 现在假设目击证据在法医检测之前独立地将嫌疑人范围缩小到5人。重新计算有罪的后验概率。概率中等数值题未尝试免费090波雷尔悖论：对零测集事件的条件化设 (\Theta, \Phi) 在单位球面 S 2 上均匀分布，其中 \Theta \in [0, 2 ) 为经度，\Phi \in [0, ] 为余纬度，联合密度为 f( , \phi) = 1 4 \sin \phi。 (a) 以 \Theta 为条件变量，计算 \Phi 在 \Theta = 0 条件下的条件分布（即 f(\phi \mid = 0)）。 (b) 重新参数化：令 X = \cos(\Theta) \sin(\Phi)，Y = \sin(\Theta) \sin(\Phi)，Z = \cos(\Phi)。大圆 \ \Theta = 0\ 等价于 \ Y = 0, X 0\ 。计算 \Phi 在 Y = 0 且 X > 0 条件下的条件分布。与(a)的结果相同吗？ (c) 解释两个答案为何不同。这对'对零测集事件条件化'的含义有何启示？解决这一歧义的正确数学框架是什么？概率困难derivation未尝试免费091假阳性悖论（基率忽略）一种罕见疾病的发病率为万分之一。筛查测试的灵敏度（真阳性率）为99%，特异度（真阴性率）为99%。(a) 一个随机选中的人检测呈阳性，他真正患病的概率是多少？(b) 同一个人再做一次独立测试（同样的灵敏度和特异度），结果再次呈阳性。现在患病概率是多少？(c) 一位医院管理者看到测试「99%准确」后，提议对全部100,000名员工进行强制筛查，声称「几乎所有阳性结果都是真的」。量化预期阳性结果中有多少是假阳性，并解释管理者的推理为何有误。概率简单数值题未尝试免费