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非代码面试题
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085检验悖论（公交等待时间）公交车按泊松过程以速率 到站（即到达间隔时间为独立同分布的 Exp ( )，均值 1/ ）。你在一个与公交时刻表无关的随机时间到达车站。令 L 为包含你到达时刻的那个到达间隔的长度——即你到达前最后一班车与你到达后下一班车之间的时间。(a) 求 E[L]。解释为什么它不等于 1/ ，尽管到达间隔的均值是 1/ 。(b) 求你的期望等待时间 E[W]（从到达到下一班车）。(c) 一位城市官员调查乘客并询问等待时间。如果报告的平均值为 1/ ，交通管理部门应该感到惊讶吗？用检验悖论解释。概率困难derivation未尝试面试订阅088圣彼得堡悖论赌场提供以下游戏：反复抛掷公平硬币直到第一次出现反面。如果第 n 次出现第一个反面，你赢得 2 n 美元。(a) 计算游戏的期望收益。(b) 尽管(a)的答案如此，大多数人只愿支付约20美元来玩。用Daniel Bernoulli的方法解决这个悖论：假设玩家具有对数效用 u(x) = \ln(x) 和初始财富 W。计算游戏的期望效用，并求 W = 1 , 000 , 000 时的确定性等价额。(c) 更实际的解决方案：假设赌场总资本有限为 C。若赔付上限为 C = 2 40 （约1万亿美元），期望收益是多少？概率中等derivation未尝试免费090波雷尔悖论：对零测集事件的条件化设 (\Theta, \Phi) 在单位球面 S 2 上均匀分布，其中 \Theta \in [0, 2 ) 为经度，\Phi \in [0, ] 为余纬度，联合密度为 f( , \phi) = 1 4 \sin \phi。 (a) 以 \Theta 为条件变量，计算 \Phi 在 \Theta = 0 条件下的条件分布（即 f(\phi \mid = 0)）。 (b) 重新参数化：令 X = \cos(\Theta) \sin(\Phi)，Y = \sin(\Theta) \sin(\Phi)，Z = \cos(\Phi)。大圆 \ \Theta = 0\ 等价于 \ Y = 0, X 0\ 。计算 \Phi 在 Y = 0 且 X > 0 条件下的条件分布。与(a)的结果相同吗？ (c) 解释两个答案为何不同。这对'对零测集事件条件化'的含义有何启示？解决这一歧义的正确数学框架是什么？概率困难derivation未尝试免费097贝特朗悖论：随机弦问题考虑一个半径为 r 的圆及其内接等边三角形。随机画一条弦。弦长于三角形边长的概率是多少？在以下三种选择随机弦的方法下分别计算： (a) **随机端点：**固定一个端点，在圆周上均匀选取另一个端点。 (b) **随机中点：**在圆盘内均匀选取弦的中点。 (c) **随机半径：**选择一条半径，在该半径上均匀选取一点作为弦的中点。 对每种方法，建立并计算相关积分或几何论证。概率简单derivation未尝试免费217负二项分布作为泊松–伽马混合设 \Lambda \sim Gamma (r, )，密度为 f \Lambda( ) = r \Gamma(r) r-1 e - ，且 X \mid \Lambda = \sim Poisson ( )。 (a) 写出 P(X=k \mid \Lambda= )，并通过对 \Lambda 积分计算边际 PMF P(X=k)。 (b) 证明 P(X=k) = \binom k+r-1 k p k(1-p) r（p=1/(1+ )），并识别此分布。 (c) 利用全期望和全方差公式求 E[X] 和 Var (X)。 (d) 验证：r=3， =4，计算 P(X=2) 和 E[X]。概率中等derivation未尝试免费226连续均匀分布的均值与方差设 X \sim Uniform (a, b)。从概率密度函数 f(x) = 1 b-a （x \in [a, b]）出发，推导 E[X] 和 Var (X)。概率简单derivation未尝试免费227指数分布的无记忆性设 X \sim Exponential ( )。证明对所有 s, t 0 有 P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)。再证指数分布是唯一具有此性质的连续分布。概率简单derivation未尝试免费228伽马分布的矩生成函数设 X \sim Gamma ( , )，其概率密度函数为 f(x) = \Gamma( ) x -1 e - x （x > 0）。推导矩生成函数 M X(t) = E[e tX ]（t < ），再由 M X(t) 计算 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费230贝塔分布：推导、矩与联系考虑 Beta 分布，其 PDF 为 f(x) = \Gamma( + ) \Gamma( )\Gamma( ) x -1 (1-x) -1 （x \in (0,1)）。 (a) 利用 Gamma 函数的积分表示，验证 \int 0 1 x -1 (1-x) -1 \,dx = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) ，从而证明 f 积分为 1。 (b) 推导 E[X] = + 和 Var (X) = ( + ) 2( + +1) 。 (c) 证明 Beta (1,1) 退化为 Uniform (0,1)。 (d) 若 Y 1 \sim Gamma ( ,1)、Y 2 \sim Gamma ( ,1) 独立，说明为何 Y 1 Y 1+Y 2 \sim Beta ( , )（无需完整证明）。概率困难derivation未尝试免费231指数分布的 CDF 与尾部概率设 X \sim Exponential ( )，其 PDF 为 f(x) = e - x （x 0）。 (a) 推导 CDF F(x) = P(X x)。 (b) 若 = 1 2 ，计算 P(X > 3)。概率简单数值题未尝试免费232两个独立指数随机变量之和的卷积推导设 X 1, X 2 独立，均服从 Exponential ( )。利用卷积公式推导 Y = X 1 + X 2 的 PDF，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费233对数正态分布的均值与方差设 X 为对数正态随机变量，即 \ln X \sim N( , 2)。利用正态分布的矩生成函数，推导 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费235从第一性原理推导卡方分布设 Z 1, \ldots, Z n 为 i.i.d. N(0,1) 随机变量，定义 Q = \sum i=1 n Z i 2。 (a) 利用连续随机变量的变量替换法，推导 Z 1 2 的 PDF。 (b) 将 (a) 的结果与 Gamma 族匹配，证明 Z 1 2 \sim Gamma ( 1 2 , 1 2 )。 (c) 利用相同速率参数的独立 Gamma 随机变量之和仍为 Gamma 的性质，写出 Q 的分布。 (d) 推导 E[Q] 和 Var (Q)。概率困难derivation未尝试免费237通过积分推导 Gamma 分布的均值与方差设 X \sim Gamma ( , )，其 PDF 为 f(x) = \Gamma( ) x -1 e - x （x > 0）。 (a) 利用 \int 0 \Gamma( ) x -1 e - x \,dx = 1 的事实，通过直接积分推导 E[X]。 (b) 类似地推导 E[X 2] 并计算 Var (X)。概率简单derivation未尝试免费238柯西分布均值的不存在性标准柯西分布的 PDF 为 f(x) = 1 (1 + x 2) ，x \in (- , )。 (a) 证明 E[|X|] 不存在：即证明 \int 0 x (1+x 2) \,dx 发散。 (b) 这对 X i i.i.d. 柯西时样本均值 X n = 1 n \sum i=1 n X i 的大数定律有何影响？概率中等derivation未尝试免费239两个独立标准正态之比服从柯西分布设 Z 1, Z 2 独立，均服从 N(0,1)。定义 R = Z 1/Z 2。 (a) 写出 (Z 1, Z 2) 的联合 PDF，利用变换 (Z 1, Z 2) \mapsto (R, Z 2) = (Z 1/Z 2,\, Z 2) 推导 (R, Z 2) 的联合 PDF。 (b) 对 Z 2 积分，得到 R 的边际 PDF。 (c) 辨认 R 的分布。概率困难derivation未尝试免费240从独立 Gamma 随机变量推导 Beta 分布与 Beta 函数设 X \sim Gamma ( , 1)，Y \sim Gamma ( , 1) 独立。 (a) 定义 U = X X+Y ，V = X+Y。计算变换 (X,Y) \mapsto (U,V) 的雅可比行列式。 (b) 推导 (U,V) 的联合 PDF，并证明 U 与 V 独立。 (c) 识别 U 的边际分布，并证明 B( , ) = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) 。概率困难derivation未尝试免费241帕累托分布的尾概率与条件期望帕累托分布的形状参数 > 0、尺度参数 x m > 0，其 PDF 为 f(x) = \, x m x +1 , \quad x x m. (a) 推导 t x m 时的 P(X > t)。 (b) 推导 > 1，t x m 时的 E[X \mid X > t]。 (c) 当 = 3，x m = 1，t = 2 时计算以上两个量。概率简单数值题未尝试免费242两个独立均匀分布之和的分布设 X 和 Y 独立，均服从 Uniform (0,1)。定义 S = X + Y。 (a) 利用卷积公式 f S(s) = \int - f X(t) f Y(s-t) dt 推导 S 在所有 s \in R 上的 PDF。 (b) 画出 PDF 的草图并说明该分布的名称。 (c) 计算 P(S > 1.5)。概率中等derivation未尝试免费243指数分布的逆变换抽样法设 U \sim Uniform (0,1)。 (a) 对于具有严格递增 CDF F 的连续随机变量 X，证明 F(X) \sim Uniform (0,1)。 (b) 利用 (a) 的结论，论证 X = F -1 (U) 的 CDF 为 F。 (c) 对 X \sim Exp ( )，其 CDF 为 F(x) = 1 - e - x （x 0），显式推导 F -1 ，并写出由均匀样本生成指数样本的公式。概率中等derivation未尝试免费