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非代码面试题
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451硬币翻转计数的正态近似一枚公平硬币独立抛掷 n = 400 次。设 S 为正面朝上的总次数。利用中心极限定理，近似求 P(190 \le S \le 210)。 可使用 \Phi(1) \approx 0.8413，其中 \Phi 为标准正态分布函数。概率简单数值题未尝试免费452指数服务时间的样本均值一台服务器处理 100 个独立请求，每个请求时间 Exp (1)（均值 1 秒）。设 T = 1 100 \sum i=1 100 T i。 **(a)** 陈述大数定律对 T （n 时）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P( T > 1.2)。可使用 \Phi(2) \approx 0.9772。概率简单数值题未尝试免费453呼叫中心溢出的泊松正态近似一个呼叫中心以泊松过程接收电话，速率 = 4 次/分钟。中心每班运营 8 小时（480 分钟）。每班最多处理 2000 个电话。 利用正态近似，估计单班电话总量超过 2000 的概率。 可使用 \Phi(1.83) \approx 0.9664。概率中等数值题未尝试免费454偏态伯努利和的Berry-Esseen界设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Bernoulli (0.01)，n = 10 , 000，S n = X i。 **(a)** 用 CLT 近似 P(S n \le 80)。 **(b)** Berry-Esseen 定理：\sup x |P(Z n \le x) - \Phi(x)| \le C 3 n ，其中 = E[|X 1 - | 3]，C \le 0.4748。计算 (a) 的近似误差上界。 可使用 \Phi(-2) \approx 0.0228。概率中等derivation未尝试免费455随机收益几何均值的大数定律与中心极限定理设 X 1, X 2, \ldots 为 i.i.d.，P(X i=1) = P(X i=0) = 1/2。定义 Y n = (\prod i=1 n (1+X i) ) 1/n . **(a)** 求 \lim n Y n（几乎必然）。 **(b)** 对 n=200，用 CLT 近似 P(Y 200 > 1.45)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(1.02) \approx 0.8461。概率困难derivation未尝试免费456生产批次中的缺陷品某工厂独立生产产品，每件缺陷概率 p = 0.03。检验一批 n = 500 件产品，设 D 为缺陷品数。 用中心极限定理近似 P(D \le 20)。 可使用 \Phi(1.30) \approx 0.9032。概率简单数值题未尝试免费457均匀随机变量之和超过阈值设 U 1, \ldots, U 60 为独立 Uniform (0,1) 随机变量，S = \sum i=1 60 U i。 用 CLT 近似 P(S > 35)。 可使用 \Phi(2.24) \approx 0.9875。概率中等数值题未尝试免费458经验频率精度的 CLT 估计一枚偏斜骰子出现六点的概率为 p = 1/3，独立投掷 n = 900 次，记 p 为六点出现的频率。 **(a)** 陈述大数定律对 p （n ）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P(| p - 1/3| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.27) \approx 0.8980。概率中等数值题未尝试免费459正态近似中的连续性修正设 S \sim Bin (200, 0.45)。用带连续性修正的 CLT 近似 P(S = 85)。 提示：对离散整数随机变量，P(S = k) \approx \Phi\! ( k+0.5- ) - \Phi\! ( k-0.5- )。 可使用：\Phi(-0.64) \approx 0.2611，\Phi(-0.78) \approx 0.2177。概率中等数值题未尝试免费460样本均值平方根的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Exp (4)（E[X i] = 1/4， Var (X i) = 1/16）。定义 T n = X n 。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (T n - ) 的渐近分布。 **(b)** 当 n = 256 时，近似 P(T 256 > 0.525)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费461公平骰子之和的 CLT 近似掷 100 个独立公平六面骰子，设 S 为点数之和。 用 CLT 近似 P(340 \le S \le 380)。 可使用 \Phi(0.58) \approx 0.7190，\Phi(1.75) \approx 0.9599。概率简单数值题未尝试免费462蒙特卡洛估计圆周率与大数定律在单位正方形 [0,1] 2 上均匀独立抽取 n = 10 , 000 个点 (X i, Y i)。定义 Z i = 1 (X i 2 + Y i 2 \le 1)， = 4 Z 。 **(a)** 解释为什么 E[ ] = 以及 a.s.。 **(b)** 用 CLT，对 Z = 0.7854 给出 的近似 95\% 置信区间。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975， \approx 3.1416。概率简单数值题未尝试免费463泊松分布的库存缺货概率仓库每周储备 240 件产品，周需求服从 Poisson (225)。用正态近似求某周需求超过库存的概率。 可使用 \Phi(1.00) \approx 0.8413。概率中等数值题未尝试免费464Gamma 样本均值对数的 Delta 方法设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Gamma (2,1)（E[X i]=2， Var (X i)=2）。定义 W n = \ln( X n)。 **(a)** 用 Delta 方法求 n (W n - \ln 2) 的渐近分布。 **(b)** n = 200 时，近似 P(W n < 0.6)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(-1.86) \approx 0.0314。概率困难derivation未尝试免费465均匀随机变量和的 Berry-Esseen 界设 U 1, \ldots, U n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，S n = U i。Berry-Esseen 定理给出 \sup x |P((S n - n/2)/( n ) \le x) - \Phi(x)| \le C /( 3 n ), 其中 C \le 0.4748。 **(a)** 精确计算 = E[|U i - 1/2| 3]。 **(b)** 求 n=50 时的 Berry-Esseen 界。 **(c)** n 至少多大才能使界低于 0.01？概率困难derivation未尝试免费466选举民调误差范围的 CLT 估计民调调查 n = 1600 名选民以估计支持率 p = 0.5。用 CLT 近似 P(| p - 0.5| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率简单数值题未尝试免费467对称随机游走位移的 CLT 近似粒子进行对称随机游走：每步 X i = \pm 1（等概率），独立。n=400 步后位置 S 400 = X i。 **(a)** LLN 对 S n/n 有何保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P(S 400 > 10)。 可使用 \Phi(0.50) \approx 0.6915。概率中等数值题未尝试免费468保险索赔总量的 CLT 近似保险公司有 300 个独立保单持有人，每人每年索赔次数 \sim Poisson (3)。设 T = N i 为总索赔次数。 用 CLT 近似 P(T > 960)。 可使用 \Phi(2.00) \approx 0.9772。概率中等数值题未尝试免费469随机乘数几何平均的 LLN 和 CLT投资每年乘以随机因子 X i（i.i.d.），P(X i=2)=P(X i=4)=1/2。n 年后年化增长因子为几何平均 G n = ( X i) 1/n 。 **(a)** 求 \lim n G n（a.s.）。 **(b)** n=100 时，用 CLT 近似 P(G 100 > 3)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\ln 3 \approx 1.0986，\Phi(1.70) \approx 0.9554。概率困难derivation未尝试免费470样本中位数的渐近分布设 X 1, \ldots, X n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，M n 为样本中位数。渐近理论给出 n (M n - m) \xrightarrow d N(0, 1/(4[f(m)] 2))。 **(a)** 对 Uniform (0,1)，求 m、f(m) 及渐近方差。 **(b)** n=400 时，近似 P(M 400 > 0.54)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率困难derivation未尝试免费