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非代码面试题
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226连续均匀分布的均值与方差设 X \sim Uniform (a, b)。从概率密度函数 f(x) = 1 b-a （x \in [a, b]）出发，推导 E[X] 和 Var (X)。概率简单derivation未尝试免费227指数分布的无记忆性设 X \sim Exponential ( )。证明对所有 s, t 0 有 P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)。再证指数分布是唯一具有此性质的连续分布。概率简单derivation未尝试免费228伽马分布的矩生成函数设 X \sim Gamma ( , )，其概率密度函数为 f(x) = \Gamma( ) x -1 e - x （x > 0）。推导矩生成函数 M X(t) = E[e tX ]（t < ），再由 M X(t) 计算 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费229标准正态分布的尾部概率与区间概率设 Z \sim N(0,1)。已知 \Phi(1) \approx 0.8413，\Phi(2) \approx 0.9772，计算：(a) P(|Z| > 2)；(b) P(1 < Z < 2)。请用正态分布的对称性解释每一步。概率中等数值题未尝试免费230贝塔分布：推导、矩与联系考虑 Beta 分布，其 PDF 为 f(x) = \Gamma( + ) \Gamma( )\Gamma( ) x -1 (1-x) -1 （x \in (0,1)）。 (a) 利用 Gamma 函数的积分表示，验证 \int 0 1 x -1 (1-x) -1 \,dx = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) ，从而证明 f 积分为 1。 (b) 推导 E[X] = + 和 Var (X) = ( + ) 2( + +1) 。 (c) 证明 Beta (1,1) 退化为 Uniform (0,1)。 (d) 若 Y 1 \sim Gamma ( ,1)、Y 2 \sim Gamma ( ,1) 独立，说明为何 Y 1 Y 1+Y 2 \sim Beta ( , )（无需完整证明）。概率困难derivation未尝试免费231指数分布的 CDF 与尾部概率设 X \sim Exponential ( )，其 PDF 为 f(x) = e - x （x 0）。 (a) 推导 CDF F(x) = P(X x)。 (b) 若 = 1 2 ，计算 P(X > 3)。概率简单数值题未尝试免费232两个独立指数随机变量之和的卷积推导设 X 1, X 2 独立，均服从 Exponential ( )。利用卷积公式推导 Y = X 1 + X 2 的 PDF，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费233对数正态分布的均值与方差设 X 为对数正态随机变量，即 \ln X \sim N( , 2)。利用正态分布的矩生成函数，推导 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费235从第一性原理推导卡方分布设 Z 1, \ldots, Z n 为 i.i.d. N(0,1) 随机变量，定义 Q = \sum i=1 n Z i 2。 (a) 利用连续随机变量的变量替换法，推导 Z 1 2 的 PDF。 (b) 将 (a) 的结果与 Gamma 族匹配，证明 Z 1 2 \sim Gamma ( 1 2 , 1 2 )。 (c) 利用相同速率参数的独立 Gamma 随机变量之和仍为 Gamma 的性质，写出 Q 的分布。 (d) 推导 E[Q] 和 Var (Q)。概率困难derivation未尝试免费236威布尔分布的中位数威布尔分布的形状参数 k > 0、尺度参数 > 0，其 CDF 为 F(x) = 1 - e -(x/ ) k , \quad x 0. (a) 推导该分布中位数的解析表达式。 (b) 当 k = 2， = 3 时，计算中位数。概率简单数值题未尝试免费237通过积分推导 Gamma 分布的均值与方差设 X \sim Gamma ( , )，其 PDF 为 f(x) = \Gamma( ) x -1 e - x （x > 0）。 (a) 利用 \int 0 \Gamma( ) x -1 e - x \,dx = 1 的事实，通过直接积分推导 E[X]。 (b) 类似地推导 E[X 2] 并计算 Var (X)。概率简单derivation未尝试免费238柯西分布均值的不存在性标准柯西分布的 PDF 为 f(x) = 1 (1 + x 2) ，x \in (- , )。 (a) 证明 E[|X|] 不存在：即证明 \int 0 x (1+x 2) \,dx 发散。 (b) 这对 X i i.i.d. 柯西时样本均值 X n = 1 n \sum i=1 n X i 的大数定律有何影响？概率中等derivation未尝试免费239两个独立标准正态之比服从柯西分布设 Z 1, Z 2 独立，均服从 N(0,1)。定义 R = Z 1/Z 2。 (a) 写出 (Z 1, Z 2) 的联合 PDF，利用变换 (Z 1, Z 2) \mapsto (R, Z 2) = (Z 1/Z 2,\, Z 2) 推导 (R, Z 2) 的联合 PDF。 (b) 对 Z 2 积分，得到 R 的边际 PDF。 (c) 辨认 R 的分布。概率困难derivation未尝试免费240从独立 Gamma 随机变量推导 Beta 分布与 Beta 函数设 X \sim Gamma ( , 1)，Y \sim Gamma ( , 1) 独立。 (a) 定义 U = X X+Y ，V = X+Y。计算变换 (X,Y) \mapsto (U,V) 的雅可比行列式。 (b) 推导 (U,V) 的联合 PDF，并证明 U 与 V 独立。 (c) 识别 U 的边际分布，并证明 B( , ) = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) 。概率困难derivation未尝试免费241帕累托分布的尾概率与条件期望帕累托分布的形状参数 > 0、尺度参数 x m > 0，其 PDF 为 f(x) = \, x m x +1 , \quad x x m. (a) 推导 t x m 时的 P(X > t)。 (b) 推导 > 1，t x m 时的 E[X \mid X > t]。 (c) 当 = 3，x m = 1，t = 2 时计算以上两个量。概率简单数值题未尝试免费242两个独立均匀分布之和的分布设 X 和 Y 独立，均服从 Uniform (0,1)。定义 S = X + Y。 (a) 利用卷积公式 f S(s) = \int - f X(t) f Y(s-t) dt 推导 S 在所有 s \in R 上的 PDF。 (b) 画出 PDF 的草图并说明该分布的名称。 (c) 计算 P(S > 1.5)。概率中等derivation未尝试免费243指数分布的逆变换抽样法设 U \sim Uniform (0,1)。 (a) 对于具有严格递增 CDF F 的连续随机变量 X，证明 F(X) \sim Uniform (0,1)。 (b) 利用 (a) 的结论，论证 X = F -1 (U) 的 CDF 为 F。 (c) 对 X \sim Exp ( )，其 CDF 为 F(x) = 1 - e - x （x 0），显式推导 F -1 ，并写出由均匀样本生成指数样本的公式。概率中等derivation未尝试免费244通过变量替换推导标准正态平方的分布设 X \sim N(0,1)。 (a) 变换 Y = X 2 不是单调的。用 CDF 方法，先计算 F Y(y) = P(X 2 y)，再求导得到 f Y(y)。 (b) 用非单调变量替换公式验证结果：当 Y = g(X) 有两个分支 x 1(y), x 2(y) 时，f Y(y) = \sum i=1 2 f X(x i(y)) |dx i/dy|。 (c) 辨认所得分布，并表示为 Gamma 分布。概率困难derivation未尝试免费245正态分布的最大熵性质连续随机变量 X（PDF 为 f）的微分熵为 h(X) = -\int - f(x) \ln f(x)\, dx。 (a) 在所有均值为 、方差为 2 的 R 上连续分布中，用拉格朗日乘数法说明最大化 h(X) 的 PDF 满足 \ln f(x) = -1 + \lambda 0 + \lambda 1 x + \lambda 2 x 2。 (b) 利用三个约束条件确定 \lambda 0, \lambda 1, \lambda 2，证明 f 为 N( , 2) 的 PDF。 (c) 计算 X \sim N( , 2) 的 h(X)。概率困难derivation未尝试免费246由独立正态推导瑞利分布设 X 和 Y 独立，均服从 N(0, 2)。定义 R = X 2 + Y 2 。 (a) 用 CDF 方法推导 R 在 r 0 上的 PDF。 (b) 指出该分布的名称并计算 E[R]。 (c) 当 = 1 时，数值计算 E[R] 和 Var (R)。概率简单derivation未尝试免费