题目441 · 概率
三个相同指数变量的最小值
设 $X_1,X_2,X_3$ 独立，均为 $\operatorname{Exp}(4)$。求 $M = \min(X_1,X_2,X_3)$ 的分布和 $E[M]$。再由无记忆性求 $E[M \mid M > 2]$。
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English questions题目443 · 概率
串联系统更换成本
机器有两个串联关键组件：A 寿命 $\operatorname{Exp}(3)$，B 寿命 $\operatorname{Exp}(5)$，独立。任一失效则机器停止，更换失效组件（A 费 $20$，B 费 $50$），两组件均重新开始。求长期单位时间期望更换成本。
打开 →题目439 · 概率
依次淘汰竞赛
三名玩家寿命独立：$X_1 \sim \operatorname{Exp}(1)$，$X_2 \sim \operatorname{Exp}(2)$，$X_3 \sim \operatorname{Exp}(4)$。先「死」者淘汰，幸存者由无记忆性以相同速率继续。(a) 求淘汰顺序为 $X_3, X_1, X_2$ 的概率。(b) 求仅剩一人的期望总时间。
打开 →题目435 · 概率
几何分布无记忆性的唯一性
(a) 设正整数随机变量 $N$ 满足 $P(N>m+n \mid N>m)=P(N>n)$。证明 $N$ 必为几何分布。 (b) 对 $N \sim \operatorname{Geom}(p)$，用无记忆性求 $E[N^2 \mid N>k]$，验证 $\operatorname{Var}(N \mid N>k) = \operatorname{Var}(N)$。
打开 →题目431 · 概率
几何分布超过阈值的条件计算
设 $X \sim \operatorname{Geom}(1/4)$（首次成功的试验次数）。利用几何分布的无记忆性，求 (i) $E[X \mid X > 5]$，(ii) $P(X > 8 \mid X > 5)$。
打开 →题目429 · 概率
几何次几何试验
赌徒进行若干轮游戏。每轮中抛一枚 $P(\text{正面}) = p$ 的硬币直到出现正面，该轮抛掷次数为 $\operatorname{Geom}(p)$。轮数本身为 $\operatorname{Geom}(q)$（与抛硬币独立）。设 $S$ 为总抛掷次数。利用几何分布的无记忆性，证明 $S \sim \operatorname{Geom}(pq)$ 并求 $E[S]$。
打开 →题目427 · 概率
利用无记忆性求条件期望
设 $X \sim \operatorname{Exp}(2)$。利用无记忆性质，求 $E[X \mid X > 3]$。
打开 →题目444 · 概率
四个竞争指数的完全排列概率
四个独立指数变量 $X_1 \sim \operatorname{Exp}(1)$，$X_2 \sim \operatorname{Exp}(2)$，$X_3 \sim \operatorname{Exp}(3)$，$X_4 \sim \operatorname{Exp}(6)$。用迭代无记忆性求 $P(X_4 < X_3 < X_2 < X_1)$。
打开 →题目433 · 概率
存活指数变量的条件方差
设 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$。利用无记忆性求 $\operatorname{Var}(X \mid X > t)$（$t > 0$）。条件于存活是否改变方差？对 $\lambda=5$, $t=2$ 给出数值。
打开 →题目436 · 概率
指数无记忆性的直接应用
放射性原子寿命 $X \sim \operatorname{Exp}(1/2)$。已知原子在 $t=3$ 时仍存活，求其存活超过 $t=7$ 的概率。
打开 →题目445 · 概率
指数混合分布的无记忆性失效
设 $X$ 的密度为 $f(x) = \frac{1}{2}e^{-x} + \frac{5}{2}e^{-5x}$（$\operatorname{Exp}(1)$ 和 $\operatorname{Exp}(5)$ 的等权混合）。 (a) 求 $P(X>s+t \mid X>s)$ 并证明其依赖于 $s$。 (b) 计算 $P(X>2 \mid X>1)$ 并与 $P(X>1)$ 比较。 (c) 解释：当 $s$ 增大时条件分布如何变化？
打开 →题目432 · 概率
指数竞赛中的非对称惩罚
两个独立警报分别在 $\operatorname{Exp}(4)$ 和 $\operatorname{Exp}(6)$ 时刻触发。警报 1 先触发付 $3$ 元，警报 2 先触发付 $5$ 元。首个警报触发后，剩余警报由无记忆性重新开始，触发时再付 $1$ 元。求总支付的期望。
打开 →题目434 · 概率
无记忆元件阵列的第二次故障
系统有 4 个独立元件，寿命均为 $\operatorname{Exp}(2)$。元件故障后移除，幸存元件由无记忆性继续以 $\operatorname{Exp}(2)$ 运行。求第二个元件故障的期望时间。
打开 →题目438 · 概率
无记忆最小值下的机器替换
工厂运行 3 台寿命独立 $\operatorname{Exp}(1)$ 的机器。故障机器即时替换为全新同型机器，其余机器由无记忆性继续运行。求 $[0,10]$ 内期望替换次数。
打开 →题目430 · 概率
无记忆性的刻画与剩余寿命悖论
(a) 设 $X$ 为连续正随机变量，满足 $P(X > s+t \mid X > s) = P(X>t)$。证明 $X$ 必为指数分布。 (b) 灯泡寿命 $L$ 的 CDF 为 $F(t) = 1 - \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-3t}$。你在随机时刻到达观察正在使用的灯泡，设 $R$ 为其剩余寿命。证明 $E[R] > E[L]$ 并计算两个值。解释为何无记忆性的缺失导致此悖论。
打开 →题目449 · 概率
无记忆消息中继链
消息经 2 个中继节点传递。每个节点独立地以 $\operatorname{Geom}(1/3)$ 次尝试转发，每次尝试有 $1/5$ 概率永久故障。求 (i) 消息到达目的地的概率，(ii) 在消息到达条件下两节点总尝试次数的期望。
打开 →题目447 · 概率
无记忆的公交车
公交车到站时间为 $\operatorname{Exp}(1/10)$（均值 10 分钟）。你已等了 5 分钟。期望还需等多久？
打开 →题目442 · 概率
由无记忆性推导常数风险率
设备寿命 $X$ 的生存函数 $\bar{F}(t)$，风险率 $h(t) = f(t)/\bar{F}(t)$。证明无记忆性等价于 $h(t) = \lambda$（常数），从而 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$。
打开 →题目448 · 概率
两个指数最小值的阈值超越
设 $X \sim \operatorname{Exp}(2)$，$Y \sim \operatorname{Exp}(3)$ 独立，$M = \min(X,Y)$，阈值 $c=1$。 (i) 求 $P(M>1)$。 (ii) 在 $M>1$ 条件下，求 $E[M-1 \mid M>1]$ 和 $P(X<Y \mid M>1)$。
打开 →题目4987 · 随机过程
为什么 uniformization 可以只用一个泊松时钟
为什么一个不同状态下离开速率不一样的 CTMC，仍然可以通过一个共同的泊松时钟再配合虚拟自跳来模拟？
打开 →题目4990 · 随机过程
为什么一阶分析有效
为什么在跳过程中，一阶分析特别适合求期望到达时间？
打开 →题目4986 · 随机过程
为什么固定等待时间会破坏 CTMC 性质
某个模拟器把跳链的路由概率做对了，但把每个状态中的指数等待时间都替换成固定的一分钟等待。为什么这样得到的日历时间过程通常就不再是 CTMC 了？
打开 →题目446 · 概率
几何分布的条件存活概率
反复掷骰子直到掷出 6。设 $N$ 为所需次数。已知前 5 次未掷出 6，求总次数超过 10 的概率。
打开 →题目4988 · 随机过程
平稳不等于慢
为什么一个状态即使退出强度很大，也可能仍然只有很小的平稳概率？
打开 →题目450 · 概率
指数竞赛中的先发优势
设 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$，$Y \sim \operatorname{Exp}(\mu)$ 独立。A 在时刻 $X$ 完成，B 在时刻 $Y + c$（$c > 0$）完成。 (a) 推导 $P(X < Y + c)$。 (b) 当 $c \to 0$ 时恢复标准竞争指数公式。 (c) 对 $\lambda=3, \mu=2, c=1$ 求值并解释。
打开 →题目4989 · 随机过程
相同跳链却有不同日历时间行为
为什么两个跳转过程即使拥有完全相同的跳链，在真实时间下看起来仍可能非常不同？
打开 →题目437 · 概率
连续失败后的全新开始
抛一枚 $P(\text{正面})=1/3$ 的硬币直到正面。已知前 8 次均为反面，从第 9 次起还需多少次的期望？
打开 →题目1816 · 统计
为什么差分能处理趋势却对纯白噪声无益
一个信号看起来像“确定性趋势 + 短记忆噪声”。为什么一次差分可能有助于获得平稳性，而对白噪声差分通常只会引入负的一阶相关？
打开 →题目206 · 概率
几何分布的无记忆性
设 $X \sim \text{Geometric}(p)$ 为首次成功所需的独立 Bernoulli($p$) 试验次数（$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$，$k = 1, 2, \ldots$）。 (a) 推导 $P(X > n)$ 的闭式表达式。 (b) 证明无记忆性：对所有正整数 $m, n$，$$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n).$$ (c) 在 $\{1, 2, 3, \ldots\}$ 上是否存在其他无记忆的离散分布？简要说明。
打开 →题目227 · 概率
指数分布的无记忆性
设 $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$。证明对所有 $s, t \geq 0$ 有 $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$。再证指数分布是唯一具有此性质的连续分布。
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