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非代码面试题
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350正态总体样本方差的精确方差设 X 1, \ldots, X n iid N( , 2)，样本方差 S 2 = 1 n-1 \sum i=1 n(X i - X ) 2。 (a) 确定 (n-1)S 2/ 2 的分布，据此推导 Var (S 2) 的精确公式。 (b) 当 n=10、 2=3 时求 Var (S 2)。概率困难derivation未尝试免费353随机和的二阶矩——塔性质设 N \sim Poisson (4)，给定 N=n 时，S = X 1 + \cdots + X n，其中 X i \stackrel iid \sim Uniform (0,1)。利用塔性质与 E[S 2 \mid N] = Var (S \mid N) + (E[S \mid N]) 2 求 E[S 2]。概率中等数值题未尝试免费355Beta-二项分布的矩——Adam 定律与 Eve 定律设 P \sim Beta (2,3)，给定 P=p 时 X \sim Binomial (10,p)。利用 Adam 定律（E[X]=E[E[X \mid P]]）和 Eve 定律（ Var (X)=E[ Var (X \mid P)]+ Var (E[X \mid P])）推导 E[X] 和 Var (X)。概率困难derivation未尝试免费358泊松复合指数和的全方差公式设 N \sim Poisson (3)，给定 N=n，S = X 1 + \cdots + X n，X i \stackrel iid \sim Exp (2)（速率 2）。利用全方差公式求 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费359连续混合参数下的塔性质设 U \sim Uniform (0,1)，给定 U=u，X \sim Geometric (u)（首次成功的试验次数，P(X = k \mid U = u) = (1-u) k-1 u）。利用塔性质求 E[X]。概率中等数值题未尝试免费363伯努利切换指数速率的两层塔性质设 Z \sim Bernoulli (1/2)。Z=1 时 Y \sim Exp (1)，Z=0 时 Y \sim Exp (2)（速率参数）。给定 Y=y，X \sim Poisson (y)。利用迭代塔性质和 Eve 定律，求 E[X] 和 Var (X)。概率中等数值题未尝试免费364高斯马尔可夫链中塔性质的验证设 (X,Y,Z) 为均值为零的联合正态， Var (X)= Var (Y)= Var (Z)=1， Corr (X,Y)=1/2， Corr (Y,Z)=1/3， Corr (X,Z)=1/6（X \perp\!\!\perp Z \mid Y）。 (a) 用二元正态回归公式直接求 E[X \mid Z]。 (b) 先求 E[X \mid Y]，再求其给定 Z 的条件期望，得到 E[E[X \mid Y] \mid Z]。 (c) 验证两个结果一致，说明塔性质在马尔可夫条件下的适用性。概率困难derivation未尝试免费368尺度混合正态的二阶矩（塔性质）设 \Theta 均匀取自 \ 1,2,3\ ，给定 \Theta= 时 X \mid \Theta = \sim N(0, )。利用塔性质求 E[X 2] 和 E[X 4]。概率中等数值题未尝试免费374复合泊松和：均值和方差（Eve 定律）设 N \sim Poisson (4)，给定 N 时 X 1,\ldots,X N 独立同分布，E[X i]=3， Var (X i)=2。令 S=X 1+\cdots+X N。利用塔性质和 Eve 定律求 E[S] 和 Var (S)。概率中等数值题未尝试免费379两个指数变量最大值的分布与期望设 X 和 Y 为独立的 Exp (1) 随机变量，令 M = \max(X,Y)。 (a) 推导 M 的概率密度函数。 (b) 计算 E[M]。概率中等数值题未尝试免费382标准正态变量的平方服从卡方(1)分布设 X \sim N(0,1)。利用 CDF 方法推导 Y = X 2 的概率密度函数，并识别所得分布。概率中等derivation未尝试免费387概率积分变换（逆 CDF 方法）设 F X 为连续严格递增的 CDF，U \sim Uniform (0,1)。证明 Y = F X -1 (U) 的 CDF 为 F X。 反之，证明若 X 的 CDF 为 F X，则 F X(X) \sim Uniform (0,1)。概率简单derivation未尝试免费390多元正态的线性变换（矩生成函数法）设 X \sim N(\boldsymbol , \boldsymbol \Sigma ) 为 p 维正态随机向量， A 为 m p 常数矩阵。利用矩生成函数证明 Z = A X 服从多元正态分布，并给出其均值向量和协方差矩阵。概率困难derivation未尝试免费393两个标准正态平方和的分布设 X 1, X 2 \sim iid N(0,1)，R = X 1 2 + X 2 2。 (a) 利用极坐标推导 (R, \Theta) 的联合密度。 (b) 对 \Theta 积分，求 R 的密度并识别其分布。概率中等multi part未尝试免费395正态的指数：对数正态分布设 X \sim N( , 2)，Y = e X。 (a) 利用换元公式推导 Y 的 PDF。 (b) 利用正态 MGF 计算 E[Y] 和 Var (Y)。 (c) 证明 Y 的中位数为 e ，并解释为何 >0 时 E[Y]> 中位数。概率困难multi part未尝试免费398卡方分布的可加性（MGF 证明）设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立。利用矩生成函数证明 X+Y \sim \chi 2(m+n)。概率中等derivation未尝试免费400由卡方变量推导 Fisher F 分布设 X \sim \chi 2(m)，Y \sim \chi 2(n) 独立，F = (X/m)/(Y/n)。 (a) 利用变换 (F,W)=(nX/(mY), Y)，计算雅可比并推导联合密度。 (b) 对 W 积分得 F 的边际 PDF，验证为 F(m,n) 分布。 (c) 证明 E[F] = n/(n-2)（n>2）。概率困难multi part未尝试免费402指数随机变量最小值的分布设 X 1, \ldots, X n 为独立的 Exp ( ) 随机变量。推导 X (1) = \min(X 1, \ldots, X n) 的分布。概率简单derivation未尝试免费407均匀分布最大值的方差设 X 1, \ldots, X n 为 iid Uniform (0,1)。推导 Var (X (n) ) 关于 n 的封闭表达式。概率中等derivation未尝试免费409均匀顺序统计量相邻间距的期望设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)，令 X (0) =0，X (n+1) =1。证明 E[X (k+1) -X (k) ]= 1 n+1 对所有 k=0,\ldots,n 成立，并计算 n=4 时的值。概率中等数值题未尝试免费