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非代码面试题
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420第 k 个均匀顺序统计量的方差设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)。推导 Var (X (k) ) 的封闭表达式（1\le k\le n）。概率困难derivation未尝试面试订阅423均匀顺序统计量极差的方差设 X 1,\ldots,X n 为 iid Uniform (0,1)，R=X (n) -X (1) 。推导 Var (R) 关于 n 的表达式。概率中等derivation未尝试免费424最大与次大均匀变量之间的期望间距设 X 1,\ldots,X 6 为 iid Uniform (0,1)。求最大值和次大值之间的期望间距：E[X (6) -X (5) ]。概率中等数值题未尝试免费430无记忆性的刻画与剩余寿命悖论(a) 设 X 为连续正随机变量，满足 P(X > s+t \mid X > s) = P(X>t)。证明 X 必为指数分布。 (b) 灯泡寿命 L 的 CDF 为 F(t) = 1 - 1 2 e -t - 1 2 e -3t 。你在随机时刻到达观察正在使用的灯泡，设 R 为其剩余寿命。证明 E[R] > E[L] 并计算两个值。解释为何无记忆性的缺失导致此悖论。概率困难derivation未尝试面试订阅432指数竞赛中的非对称惩罚两个独立警报分别在 Exp (4) 和 Exp (6) 时刻触发。警报 1 先触发付 3 元，警报 2 先触发付 5 元。首个警报触发后，剩余警报由无记忆性重新开始，触发时再付 1 元。求总支付的期望。概率中等数值题未尝试免费434无记忆元件阵列的第二次故障系统有 4 个独立元件，寿命均为 Exp (2)。元件故障后移除，幸存元件由无记忆性继续以 Exp (2) 运行。求第二个元件故障的期望时间。概率中等数值题未尝试免费438无记忆最小值下的机器替换工厂运行 3 台寿命独立 Exp (1) 的机器。故障机器即时替换为全新同型机器，其余机器由无记忆性继续运行。求 [0,10] 内期望替换次数。概率中等数值题未尝试免费439依次淘汰竞赛三名玩家寿命独立：X 1 \sim Exp (1)，X 2 \sim Exp (2)，X 3 \sim Exp (4)。先「死」者淘汰，幸存者由无记忆性以相同速率继续。(a) 求淘汰顺序为 X 3, X 1, X 2 的概率。(b) 求仅剩一人的期望总时间。概率困难multi part未尝试面试订阅441三个相同指数变量的最小值设 X 1,X 2,X 3 独立，均为 Exp (4)。求 M = \min(X 1,X 2,X 3) 的分布和 E[M]。再由无记忆性求 E[M \mid M > 2]。概率简单数值题未尝试免费443串联系统更换成本机器有两个串联关键组件：A 寿命 Exp (3)，B 寿命 Exp (5)，独立。任一失效则机器停止，更换失效组件（A 费 20，B 费 50），两组件均重新开始。求长期单位时间期望更换成本。概率中等数值题未尝试免费444四个竞争指数的完全排列概率四个独立指数变量 X 1 \sim Exp (1)，X 2 \sim Exp (2)，X 3 \sim Exp (3)，X 4 \sim Exp (6)。用迭代无记忆性求 P(X 4 < X 3 < X 2 < X 1)。概率困难数值题未尝试面试订阅448两个指数最小值的阈值超越设 X \sim Exp (2)，Y \sim Exp (3) 独立，M = \min(X,Y)，阈值 c=1。 (i) 求 P(M>1)。 (ii) 在 M>1 条件下，求 E[M-1 \mid M>1] 和 P(X<Y \mid M>1)。概率中等数值题未尝试免费449无记忆消息中继链消息经 2 个中继节点传递。每个节点独立地以 Geom (1/3) 次尝试转发，每次尝试有 1/5 概率永久故障。求 (i) 消息到达目的地的概率，(ii) 在消息到达条件下两节点总尝试次数的期望。概率中等数值题未尝试免费450指数竞赛中的先发优势设 X \sim Exp ( )，Y \sim Exp ( ) 独立。A 在时刻 X 完成，B 在时刻 Y + c（c > 0）完成。 (a) 推导 P(X < Y + c)。 (b) 当 c 0 时恢复标准竞争指数公式。 (c) 对 =3, =2, c=1 求值并解释。概率困难multi part未尝试面试订阅452指数服务时间的样本均值一台服务器处理 100 个独立请求，每个请求时间 Exp (1)（均值 1 秒）。设 T = 1 100 \sum i=1 100 T i。 **(a)** 陈述大数定律对 T （n 时）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P( T > 1.2)。可使用 \Phi(2) \approx 0.9772。概率简单数值题未尝试免费453呼叫中心溢出的泊松正态近似一个呼叫中心以泊松过程接收电话，速率 = 4 次/分钟。中心每班运营 8 小时（480 分钟）。每班最多处理 2000 个电话。 利用正态近似，估计单班电话总量超过 2000 的概率。 可使用 \Phi(1.83) \approx 0.9664。概率中等数值题未尝试免费455随机收益几何均值的大数定律与中心极限定理设 X 1, X 2, \ldots 为 i.i.d.，P(X i=1) = P(X i=0) = 1/2。定义 Y n = (\prod i=1 n (1+X i) ) 1/n . **(a)** 求 \lim n Y n（几乎必然）。 **(b)** 对 n=200，用 CLT 近似 P(Y 200 > 1.45)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(1.02) \approx 0.8461。概率困难derivation未尝试免费458经验频率精度的 CLT 估计一枚偏斜骰子出现六点的概率为 p = 1/3，独立投掷 n = 900 次，记 p 为六点出现的频率。 **(a)** 陈述大数定律对 p （n ）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P(| p - 1/3| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.27) \approx 0.8980。概率中等数值题未尝试免费462蒙特卡洛估计圆周率与大数定律在单位正方形 [0,1] 2 上均匀独立抽取 n = 10 , 000 个点 (X i, Y i)。定义 Z i = 1 (X i 2 + Y i 2 \le 1)， = 4 Z 。 **(a)** 解释为什么 E[ ] = 以及 a.s.。 **(b)** 用 CLT，对 Z = 0.7854 给出 的近似 95\% 置信区间。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975， \approx 3.1416。概率简单数值题未尝试免费466选举民调误差范围的 CLT 估计民调调查 n = 1600 名选民以估计支持率 p = 0.5。用 CLT 近似 P(| p - 0.5| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率简单数值题未尝试免费