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非代码面试题
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443串联系统更换成本机器有两个串联关键组件：A 寿命 Exp (3)，B 寿命 Exp (5)，独立。任一失效则机器停止，更换失效组件（A 费 20，B 费 50），两组件均重新开始。求长期单位时间期望更换成本。概率中等数值题未尝试免费448两个指数最小值的阈值超越设 X \sim Exp (2)，Y \sim Exp (3) 独立，M = \min(X,Y)，阈值 c=1。 (i) 求 P(M>1)。 (ii) 在 M>1 条件下，求 E[M-1 \mid M>1] 和 P(X<Y \mid M>1)。概率中等数值题未尝试免费452指数服务时间的样本均值一台服务器处理 100 个独立请求，每个请求时间 Exp (1)（均值 1 秒）。设 T = 1 100 \sum i=1 100 T i。 **(a)** 陈述大数定律对 T （n 时）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P( T > 1.2)。可使用 \Phi(2) \approx 0.9772。概率简单数值题未尝试免费453呼叫中心溢出的泊松正态近似一个呼叫中心以泊松过程接收电话，速率 = 4 次/分钟。中心每班运营 8 小时（480 分钟）。每班最多处理 2000 个电话。 利用正态近似，估计单班电话总量超过 2000 的概率。 可使用 \Phi(1.83) \approx 0.9664。概率中等数值题未尝试免费457均匀随机变量之和超过阈值设 U 1, \ldots, U 60 为独立 Uniform (0,1) 随机变量，S = \sum i=1 60 U i。 用 CLT 近似 P(S > 35)。 可使用 \Phi(2.24) \approx 0.9875。概率中等数值题未尝试免费458经验频率精度的 CLT 估计一枚偏斜骰子出现六点的概率为 p = 1/3，独立投掷 n = 900 次，记 p 为六点出现的频率。 **(a)** 陈述大数定律对 p （n ）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P(| p - 1/3| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.27) \approx 0.8980。概率中等数值题未尝试免费459正态近似中的连续性修正设 S \sim Bin (200, 0.45)。用带连续性修正的 CLT 近似 P(S = 85)。 提示：对离散整数随机变量，P(S = k) \approx \Phi\! ( k+0.5- ) - \Phi\! ( k-0.5- )。 可使用：\Phi(-0.64) \approx 0.2611，\Phi(-0.78) \approx 0.2177。概率中等数值题未尝试免费462蒙特卡洛估计圆周率与大数定律在单位正方形 [0,1] 2 上均匀独立抽取 n = 10 , 000 个点 (X i, Y i)。定义 Z i = 1 (X i 2 + Y i 2 \le 1)， = 4 Z 。 **(a)** 解释为什么 E[ ] = 以及 a.s.。 **(b)** 用 CLT，对 Z = 0.7854 给出 的近似 95\% 置信区间。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975， \approx 3.1416。概率简单数值题未尝试免费463泊松分布的库存缺货概率仓库每周储备 240 件产品，周需求服从 Poisson (225)。用正态近似求某周需求超过库存的概率。 可使用 \Phi(1.00) \approx 0.8413。概率中等数值题未尝试免费465均匀随机变量和的 Berry-Esseen 界设 U 1, \ldots, U n 为 i.i.d. Uniform (0,1)，S n = U i。Berry-Esseen 定理给出 \sup x |P((S n - n/2)/( n ) \le x) - \Phi(x)| \le C /( 3 n ), 其中 C \le 0.4748。 **(a)** 精确计算 = E[|U i - 1/2| 3]。 **(b)** 求 n=50 时的 Berry-Esseen 界。 **(c)** n 至少多大才能使界低于 0.01？概率困难derivation未尝试免费466选举民调误差范围的 CLT 估计民调调查 n = 1600 名选民以估计支持率 p = 0.5。用 CLT 近似 P(| p - 0.5| < 0.02)。 可使用 \Phi(1.60) \approx 0.9452。概率简单数值题未尝试免费468保险索赔总量的 CLT 近似保险公司有 300 个独立保单持有人，每人每年索赔次数 \sim Poisson (3)。设 T = N i 为总索赔次数。 用 CLT 近似 P(T > 960)。 可使用 \Phi(2.00) \approx 0.9772。概率中等数值题未尝试免费472给定估计精度的最小样本量随机变量 X 均值 =5，标准差 =2。观测 n 个独立副本。 用 CLT 求最小 n 使得 P(| X n - 5| > 0.3) < 0.05。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975。概率简单数值题未尝试免费473等权组合负收益概率的 CLT 估计等权组合含 n=50 只股票，各自年化收益独立， =0.08， =0.20。组合收益 R = 1 50 R i。 **(a)** LLN 对 R 的保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P( R < 0)。 可使用 \Phi(2.83) \approx 0.9977。概率中等数值题未尝试免费479状态依赖漂移的首次到达边界问题粒子在 \ 0,1,2,3,4\ 上运动。从状态 i（0<i<4）以概率 p i = i/4 向右跳，q i = 1-i/4 向左跳。0 和 4 吸收。从状态 2 出发：(a) 求被状态 4 吸收的概率。(b) 求直到吸收的期望步数。概率中等derivation未尝试免费480通过补偿鞅求击中时间方差马尔可夫链在 \ 0,1,2,3\ 上，从 i（0<i<3）以概率 2/3 跳至 i+1，1/3 跳至 i-1。0 和 3 吸收。令 T = \inf\ n: X n \in \ 0,3\ \ 。 (a) 用鞅 M n = X n\wedge T - (p-q)(n\wedge T) 和 OST 求 E[T \mid X 0=2]。 (b) 用鞅 N n = M n 2 - 4pq(n\wedge T) 求 Var (T \mid X 0=2)。 (c) 用一步分析验证 E[T]。概率困难derivation未尝试面试订阅482经过随机化状态的首达时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ 上，转移矩阵为 P = \begin pmatrix 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & 0 & 3/4 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end pmatrix 。状态 0 吸收。(a) 求 E[T \mid X 0=1]。(b) 求 E[T \mid X 0=2]。概率中等数值题未尝试免费488奇偶依赖转移的首达时间四状态链 \ 0,1,2,3\ ，0 和 3 吸收。奇数状态 i：p(i,i-1)=3/4，p(i,i+1)=1/4。偶数瞬态状态 i=2：p(i,i-1)=1/4，p(i,i+1)=3/4。求 E[T \mid X 0=1]。概率中等derivation未尝试免费490非对称链上的鞅构造求击中时间四状态链 \ 0,1,2,3\ ：p(1,0)=1/3, p(1,2)=2/3, p(2,1)=1/2, p(2,3)=1/2。0 吸收，3 反射（p(3,2)=1）。T=\inf\ n: X n=0\ 。(a) 构造鞅 M n=f(X n\wedge T )-(n\wedge T)c 求 E[T|X 0=2]。(b) 类似方法求 Var (T|X 0=2)。概率困难derivation未尝试免费492六状态链上配对坐标的击中时间马尔可夫链在 \ 0,1,2\ \ 0,1\ 上。(0,y) 吸收。从 (i,j)（i\ge1）以概率 1/3 到 (i-1,j)，1/3 到 (i,1-j)，1/3 到 (i+1,j)（i+1>2 时重新分配）。求 E[T|X 0=(1,1)]。概率中等derivation未尝试免费