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非代码面试题
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422两个均匀分布最大值的期望设 X 1, X 2 为独立的 Uniform (0,1) 随机变量。计算 E[\max(X 1, X 2)]。概率简单数值题未尝试免费424最大与次大均匀变量之间的期望间距设 X 1,\ldots,X 6 为 iid Uniform (0,1)。求最大值和次大值之间的期望间距：E[X (6) -X (5) ]。概率中等数值题未尝试免费425两个最小指数顺序统计量之比设 X 1, X 2 为独立的 Exp (1) 随机变量，顺序统计量为 X (1) \le X (2) 。定义 U=X (1) /X (2) 。概率困难multi part未尝试面试订阅429几何次几何试验赌徒进行若干轮游戏。每轮中抛一枚 P( 正面 ) = p 的硬币直到出现正面，该轮抛掷次数为 Geom (p)。轮数本身为 Geom (q)（与抛硬币独立）。设 S 为总抛掷次数。利用几何分布的无记忆性，证明 S \sim Geom (pq) 并求 E[S]。概率中等derivation未尝试免费432指数竞赛中的非对称惩罚两个独立警报分别在 Exp (4) 和 Exp (6) 时刻触发。警报 1 先触发付 3 元，警报 2 先触发付 5 元。首个警报触发后，剩余警报由无记忆性重新开始，触发时再付 1 元。求总支付的期望。概率中等数值题未尝试免费434无记忆元件阵列的第二次故障系统有 4 个独立元件，寿命均为 Exp (2)。元件故障后移除，幸存元件由无记忆性继续以 Exp (2) 运行。求第二个元件故障的期望时间。概率中等数值题未尝试免费439依次淘汰竞赛三名玩家寿命独立：X 1 \sim Exp (1)，X 2 \sim Exp (2)，X 3 \sim Exp (4)。先「死」者淘汰，幸存者由无记忆性以相同速率继续。(a) 求淘汰顺序为 X 3, X 1, X 2 的概率。(b) 求仅剩一人的期望总时间。概率困难multi part未尝试面试订阅444四个竞争指数的完全排列概率四个独立指数变量 X 1 \sim Exp (1)，X 2 \sim Exp (2)，X 3 \sim Exp (3)，X 4 \sim Exp (6)。用迭代无记忆性求 P(X 4 < X 3 < X 2 < X 1)。概率困难数值题未尝试面试订阅448两个指数最小值的阈值超越设 X \sim Exp (2)，Y \sim Exp (3) 独立，M = \min(X,Y)，阈值 c=1。 (i) 求 P(M>1)。 (ii) 在 M>1 条件下，求 E[M-1 \mid M>1] 和 P(X<Y \mid M>1)。概率中等数值题未尝试免费449无记忆消息中继链消息经 2 个中继节点传递。每个节点独立地以 Geom (1/3) 次尝试转发，每次尝试有 1/5 概率永久故障。求 (i) 消息到达目的地的概率，(ii) 在消息到达条件下两节点总尝试次数的期望。概率中等数值题未尝试免费450指数竞赛中的先发优势设 X \sim Exp ( )，Y \sim Exp ( ) 独立。A 在时刻 X 完成，B 在时刻 Y + c（c > 0）完成。 (a) 推导 P(X < Y + c)。 (b) 当 c 0 时恢复标准竞争指数公式。 (c) 对 =3, =2, c=1 求值并解释。概率困难multi part未尝试面试订阅452指数服务时间的样本均值一台服务器处理 100 个独立请求，每个请求时间 Exp (1)（均值 1 秒）。设 T = 1 100 \sum i=1 100 T i。 **(a)** 陈述大数定律对 T （n 时）的保证。 **(b)** 用 CLT 近似 P( T > 1.2)。可使用 \Phi(2) \approx 0.9772。概率简单数值题未尝试免费455随机收益几何均值的大数定律与中心极限定理设 X 1, X 2, \ldots 为 i.i.d.，P(X i=1) = P(X i=0) = 1/2。定义 Y n = (\prod i=1 n (1+X i) ) 1/n . **(a)** 求 \lim n Y n（几乎必然）。 **(b)** 对 n=200，用 CLT 近似 P(Y 200 > 1.45)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\Phi(1.02) \approx 0.8461。概率困难derivation未尝试免费457均匀随机变量之和超过阈值设 U 1, \ldots, U 60 为独立 Uniform (0,1) 随机变量，S = \sum i=1 60 U i。 用 CLT 近似 P(S > 35)。 可使用 \Phi(2.24) \approx 0.9875。概率中等数值题未尝试免费462蒙特卡洛估计圆周率与大数定律在单位正方形 [0,1] 2 上均匀独立抽取 n = 10 , 000 个点 (X i, Y i)。定义 Z i = 1 (X i 2 + Y i 2 \le 1)， = 4 Z 。 **(a)** 解释为什么 E[ ] = 以及 a.s.。 **(b)** 用 CLT，对 Z = 0.7854 给出 的近似 95\% 置信区间。 可使用 \Phi(1.96) \approx 0.975， \approx 3.1416。概率简单数值题未尝试免费467对称随机游走位移的 CLT 近似粒子进行对称随机游走：每步 X i = \pm 1（等概率），独立。n=400 步后位置 S 400 = X i。 **(a)** LLN 对 S n/n 有何保证？ **(b)** 用 CLT 近似 P(S 400 > 10)。 可使用 \Phi(0.50) \approx 0.6915。概率中等数值题未尝试免费469随机乘数几何平均的 LLN 和 CLT投资每年乘以随机因子 X i（i.i.d.），P(X i=2)=P(X i=4)=1/2。n 年后年化增长因子为几何平均 G n = ( X i) 1/n 。 **(a)** 求 \lim n G n（a.s.）。 **(b)** n=100 时，用 CLT 近似 P(G 100 > 3)。 可使用 \ln 2 \approx 0.6931，\ln 3 \approx 1.0986，\Phi(1.70) \approx 0.9554。概率困难derivation未尝试免费474尾部概率保证的最小样本量设 X i 为 i.i.d. Exp (1)。设计师要求 P( X n > 1.1) < 0.01。 用 CLT 求满足条件的最小 n。 可使用 \Phi(2.33) \approx 0.9901。概率中等数值题未尝试免费476四状态链的击中时间考虑状态空间 \ 0,1,2,3\ 上的马尔可夫链，转移概率为： p(0,1)=1,\; p(1,0)=\tfrac 1 3 ,\; p(1,2)=\tfrac 2 3 ,\; p(2,1)=\tfrac 1 2 ,\; p(2,3)=\tfrac 1 2 ,\; p(3,3)=1. 从状态 0 出发，求首次到达状态 3 的期望步数。概率简单数值题未尝试免费478惰性随机游走击中时间粒子在 \ 0,1,2,3,4,5\ 上运动。内部状态 i（0<i<5）以概率 1/3 留在原地、1/3 向左、1/3 向右。状态 0 反射：2/3 概率去 1，1/3 留在原地。状态 5 吸收。从状态 0 出发，推导到达状态 5 的期望步数。概率中等derivation未尝试免费