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非代码面试题
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212通过概率母函数求几何分布的矩设 X \sim Geometric (p)，P(X = k) = (1-p) k-1 p（k = 1, 2, 3, \ldots）。 (a) 推导概率母函数 G X(s) = E[s X] 的闭式表达式。 (b) 利用 G X 计算 E[X] 和 Var (X)。 提示：E[X] = G X'(1)， Var (X) = G X''(1) + G X'(1) - [G X'(1)] 2。概率简单derivation未尝试免费213二项和分量的条件分布设 X \sim Binomial (m, p)，Y \sim Binomial (n, p)，且 X, Y 独立。 (a) S = X + Y 的分布是什么？说明理由。 (b) 推导条件 PMF P(X = k \mid S = s)。 (c) 指出该条件分布的名称和参数。解释为什么 p 在条件分布中消失了。 (d) 用数值例子验证：m = 10，n = 15，p = 0.4。计算 P(X = 3 \mid S = 8)。概率中等derivation未尝试免费214泊松稀释与分流独立性设 N \sim Poisson ( )。每个事件独立地以概率 p 被分为第1类，以概率 1-p 被分为第2类。令 N 1, N 2 分别为两类事件的计数。 (a) 推导 N 1 的边际分布。 (b) 推导联合 PMF P(N 1 = j, N 2 = k)，并证明 N 1 与 N 2 独立。 (c) 某网站每小时页面浏览量为 = 200。每位访客独立地以概率 p = 0.03 转化（购买）。求一小时内恰好有4次转化的概率，以及在总浏览量不超过210的条件下至少有1次转化的概率。概率困难derivation未尝试免费215通过概率母函数求骰子总和的分布设 X 1, X 2, \ldots, X n 为公平 d 面骰子的独立掷骰结果，每个 X i 均匀分布于 \ 1, 2, \ldots, d\ 。令 S n = X 1 + \cdots + X n。 (a) 推导 G X 1 (s) = E[s X 1 ] 的闭式表达式。 (b) 写出 S n 的 PGF 并由此推导 E[S n] 和 Var (S n)。 (c) 对于 n = 3 个公平六面骰子（d = 6），用 PGF 求 P(S 3 = 10)。 (d) 解释系数提取方法与经典的隔板法加容斥原理之间的联系。概率困难derivation未尝试免费216离散均匀分布的均值与方差设 X 在 \ 1, 2, \ldots, n\ 上均匀分布，即 P(X = k) = 1/n。 (a) 推导 E[X] 的闭式表达式。 (b) 利用 \sum k=1 n k 2 = n(n+1)(2n+1)/6 推导 E[X 2]。 (c) 求 Var (X)。 (d) 对公平六面骰子（n=6）给出数值结果。概率简单derivation未尝试免费217负二项分布作为泊松–伽马混合设 \Lambda \sim Gamma (r, )，密度为 f \Lambda( ) = r \Gamma(r) r-1 e - ，且 X \mid \Lambda = \sim Poisson ( )。 (a) 写出 P(X=k \mid \Lambda= )，并通过对 \Lambda 积分计算边际 PMF P(X=k)。 (b) 证明 P(X=k) = \binom k+r-1 k p k(1-p) r（p=1/(1+ )），并识别此分布。 (c) 利用全期望和全方差公式求 E[X] 和 Var (X)。 (d) 验证：r=3， =4，计算 P(X=2) 和 E[X]。概率中等derivation未尝试免费218通过几何等待时间求解赠券收集问题麦片盒中含有 n 种等概率的赠券之一。你逐盒购买，每次独立。设 T 为集齐所有 n 种赠券所需的盒数。 (a) 定义 T i 为从已有 i-1 种到获得第 i 种所需的额外盒数。T i 服从什么分布？ (b) 用 T 1, \ldots, T n 表达 T，并利用期望的线性性推导 E[T]。 (c) 证明 E[T] = n H n。 (d) 计算 n = 10 时的 E[T]。 (e) 利用 T 1, \ldots, T n 的独立性推导 Var (T)。概率中等derivation未尝试免费219独立几何随机变量最大值的分布设 X 1, \ldots, X n 独立同分布 Geometric (p)，P(X i=k)=(1-p) k-1 p。令 M = \max(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M \le m) = [1-(1-p) m] n。 (b) 推导 P(M = m)。 (c) 利用尾和公式表达 E[M] 为无穷级数。 (d) n=2，p=1/2 时，计算 P(M=1), P(M=2), P(M=3) 并精确求 E[M]。 (e) 对一般 n 和小 p，启发式论证 E[M] \approx (\ln n)/p。概率困难derivation未尝试免费220通过特征函数证明二项分布的泊松极限设 X n \sim Binomial (n, /n)， > 0 固定。 (a) 写出 \varphi X n (t) 的闭式。 (b) 证明 \lim n \varphi X n (t) = e (e it -1) 。 (c) 识别极限特征函数并陈述依分布收敛的结论。 (d) 说明为什么特征函数逐点收敛蕴含依分布收敛（引用相关定理）。 (e) =5，n=100 时，用精确二项和泊松近似分别计算 P(X n=3)，求相对误差。概率困难derivation未尝试免费221伯努利分布：矩与矩母函数设 X \sim Bernoulli (p)，即 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，其中 0<p<1。 (a) 直接由 PMF 计算 E[X] 和 E[X 2]，进而求 Var (X)。 (b) 推导矩母函数 M X(t)=E[e tX ]，并验证 M X'(0)=E[X]，M X''(0)=E[X 2]。 (c) 证明 Var (X)=p(1-p) \le 1/4，并找到使方差最大的 p 值。 (d) 若 S=\sum i=1 n X i，X i 独立同分布 Bernoulli (p)，利用 MGF 证明 S \sim Binomial (n,p)。概率简单derivation未尝试免费222两个独立泊松随机变量的卷积设 X \sim Poisson (2)，Y \sim Poisson (3)，且 X、Y 独立。 (a) 用卷积公式 P(X+Y=k)=\sum j=0 k P(X=j)P(Y=k-j) 计算 P(X+Y=3)。 (b) 利用 X+Y \sim Poisson (5) 验证你的答案。 (c) 计算 P(X=1 \mid X+Y=3)。概率简单数值题未尝试免费223零截断泊松分布**零截断泊松分布**出现在观测到泊松过程至少发生一次事件时。设 Y \sim Poisson ( )， > 0，定义 X = (Y \mid Y \ge 1)。 (a) 推导 X 的 PMF，证明 P(X=k) = k k!(e -1) ，k=1,2,3,\ldots，并验证其和为 1。 (b) 通过截断关系求 E[X]，证明 E[X] = 1-e - 。 (c) 利用 Var (X) = E[X 2]-(E[X]) 2 推导 Var (X)。 (d) 当 =0.5 时，数值计算 P(X=1)、E[X]、 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费224复合泊松分布：矩母函数与矩设 N \sim Poisson ( )，X 1, X 2, \ldots 独立同分布（与 N 独立），MGF 为 M X(t)。定义复合泊松和 S = \sum i=1 N X i（N=0 时 S=0）。 (a) 推导 S 的 MGF，证明 M S(t) = \exp( (M X(t)-1))。 (b) 用 MGF 推导 E[S] 和 Var (S)。 (c) 用全期望公式和全方差公式重新推导。 (d) 保险公司每天收到 =10 件理赔，每件金额为 1000 元（概率 0.6）或 5000 元（概率 0.4）。求每日总理赔额 S 的期望、方差和标准差。概率困难derivation未尝试免费225独立几何随机变量的最小值设 X 1, \ldots, X n 独立，X i \sim Geometric (p i)（首次成功所需试验次数），定义 M = \min(X 1, \ldots, X n)。 (a) 证明 P(M > k) = \prod i=1 n (1-p i) k。 (b) 证明 M \sim Geometric (1- (1-p i))。 (c) iid 情形：求 E[M] 和 Var (M)，验证 n 时 E[M] 1。 (d) 五个独立交易员每天成交概率 0.3，求首次成交的期望天数和前 3 天无成交的概率。 (e) 证明 P(X j=M \mid M=m) 依赖于 j，对 n=2, p 1=0.3, p 2=0.5, m=2 计算。概率困难derivation未尝试免费226连续均匀分布的均值与方差设 X \sim Uniform (a, b)。从概率密度函数 f(x) = 1 b-a （x \in [a, b]）出发，推导 E[X] 和 Var (X)。概率简单derivation未尝试免费227指数分布的无记忆性设 X \sim Exponential ( )。证明对所有 s, t 0 有 P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)。再证指数分布是唯一具有此性质的连续分布。概率简单derivation未尝试免费228伽马分布的矩生成函数设 X \sim Gamma ( , )，其概率密度函数为 f(x) = \Gamma( ) x -1 e - x （x > 0）。推导矩生成函数 M X(t) = E[e tX ]（t < ），再由 M X(t) 计算 E[X] 和 Var (X)。概率中等derivation未尝试免费229标准正态分布的尾部概率与区间概率设 Z \sim N(0,1)。已知 \Phi(1) \approx 0.8413，\Phi(2) \approx 0.9772，计算：(a) P(|Z| > 2)；(b) P(1 < Z < 2)。请用正态分布的对称性解释每一步。概率中等数值题未尝试免费230贝塔分布：推导、矩与联系考虑 Beta 分布，其 PDF 为 f(x) = \Gamma( + ) \Gamma( )\Gamma( ) x -1 (1-x) -1 （x \in (0,1)）。 (a) 利用 Gamma 函数的积分表示，验证 \int 0 1 x -1 (1-x) -1 \,dx = \Gamma( )\Gamma( ) \Gamma( + ) ，从而证明 f 积分为 1。 (b) 推导 E[X] = + 和 Var (X) = ( + ) 2( + +1) 。 (c) 证明 Beta (1,1) 退化为 Uniform (0,1)。 (d) 若 Y 1 \sim Gamma ( ,1)、Y 2 \sim Gamma ( ,1) 独立，说明为何 Y 1 Y 1+Y 2 \sim Beta ( , )（无需完整证明）。概率困难derivation未尝试免费231指数分布的 CDF 与尾部概率设 X \sim Exponential ( )，其 PDF 为 f(x) = e - x （x 0）。 (a) 推导 CDF F(x) = P(X x)。 (b) 若 = 1 2 ，计算 P(X > 3)。概率简单数值题未尝试免费