题目410 · 概率
两个均匀顺序统计量的联合密度与协方差
设 $X_1, \ldots, X_n$ 为 iid $\operatorname{Uniform}(0,1)$。考虑顺序统计量 $X_{(i)}$ 和 $X_{(j)}$，其中 $1 \le i < j \le n$。
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English questions题目393 · 概率
两个标准正态平方和的分布
设 $X_1, X_2 \sim \text{iid } N(0,1)$，$R = X_1^2 + X_2^2$。 (a) 利用极坐标推导 $(R, \Theta)$ 的联合密度。 (b) 对 $\Theta$ 积分，求 $R$ 的密度并识别其分布。
打开 →题目380 · 概率
两个独立指数变量之比的分布
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，令 $R = X/Y$。 (a) 利用变换 $(R,S) = (X/Y,\,Y)$，通过雅可比行列式求 $f_{R,S}$，再对 $S$ 积分得到 $R$ 的 PDF。 (b) 将 $f_R$ 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 $P(R \le 1)$。
打开 →题目239 · 概率
两个独立标准正态之比服从柯西分布
设 $Z_1, Z_2$ 独立，均服从 $N(0,1)$。定义 $R = Z_1/Z_2$。 (a) 写出 $(Z_1, Z_2)$ 的联合 PDF，利用变换 $(Z_1, Z_2) \mapsto (R, Z_2) = (Z_1/Z_2,\, Z_2)$ 推导 $(R, Z_2)$ 的联合 PDF。 (b) 对 $Z_2$ 积分，得到 $R$ 的边际 PDF。 (c) 辨认 $R$ 的分布。
打开 →题目240 · 概率
从独立 Gamma 随机变量推导 Beta 分布与 Beta 函数
设 $X \sim \text{Gamma}(\alpha, 1)$，$Y \sim \text{Gamma}(\beta, 1)$ 独立。 (a) 定义 $U = \frac{X}{X+Y}$，$V = X+Y$。计算变换 $(X,Y) \mapsto (U,V)$ 的雅可比行列式。 (b) 推导 $(U,V)$ 的联合 PDF，并证明 $U$ 与 $V$ 独立。 (c) 识别 $U$ 的边际分布，并证明 $B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\be
打开 →题目2848 · 概率
从联合 MGF 读取协方差
设 \[ M_{X,Y}(s,t)=\exp\!\bigl(2s-t+2s^2+3st+\tfrac52 t^2\bigr). \] 计算 $E[X]$、$E[Y]$、$\mathrm{Var}(X)$、$\mathrm{Var}(Y)$ 以及 $\mathrm{Cov}(X,Y)$。
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均匀样本中程的分布
设 $X_1,\ldots,X_n$ 为 iid $\operatorname{Uniform}(0,1)$（$n\ge 2$）。中程定义为 $M=\frac{X_{(1)}+X_{(n)}}{2}$。利用 $(X_{(1)},X_{(n)})$ 的联合密度推导 $M$ 的 PDF。
打开 →题目058 · 概率
异或构造：两两独立但非相互独立
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\text{Bernoulli}(1/2)$ 随机变量。定义 $Z = X \oplus Y$（模 2 加法）。(a) 证明 $Z \sim \text{Bernoulli}(1/2)$。(b) 证明 $\{X, Y, Z\}$ 中任意两个随机变量相互独立。(c) $X$、$Y$、$Z$ 是否相互独立？给出违反相互独立条件的具体联合事件。
打开 →题目405 · 概率
极值的联合分布与极差
设 $X_1, \ldots, X_n$ 为 iid $\operatorname{Uniform}(0,1)$。令 $X_{(1)} = \min_i X_i$，$X_{(n)} = \max_i X_i$。
打开 →题目389 · 概率
独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布
设 $X \sim \operatorname{Gamma}(\alpha,1)$，$Y \sim \operatorname{Gamma}(\beta,1)$ 独立。利用变换 $(W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)$： (a) 计算逆变换的雅可比行列式。 (b) 推导联合密度 $f_{W,S}$ 并对 $S$ 积分，证明 $W \sim \operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$。 (c) 证明 $W$ 与 $S$ 独立。
打开 →题目065 · 概率
独立分布的混合破坏独立性
一枚均匀硬币：正面朝上时令 $(X, Y) = (1, 1)$；反面朝上时独立地抽取 $X, Y \sim \text{Bernoulli}(1/2)$。(a) 求 $(X, Y)$ 的完整联合分布。(b) 证明 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布相同。(c) $X$ 和 $Y$ 是否独立？证明你的结论。(d) 计算 $P(X = 1 \mid Y = 0)$，并与 $P(X = 1)$ 比较。解释结果。
打开 →题目063 · 概率
独立变量的函数未必独立于其输入
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\text{Bernoulli}(1/2)$ 随机变量。定义 $W = \max(X, Y)$。(a) 求 $W$ 的分布。(b) 通过检验所有联合概率 $P(X = x, W = w)$（$x, w \in \{0, 1\}$）判断 $X$ 和 $W$ 是否独立。
打开 →题目394 · 概率
独立标准正态之比服从柯西分布
设 $X_1, X_2 \sim \text{iid } N(0,1)$。利用变换 $(Y,V)=(X_1/X_2, X_2)$： (a) 推导联合密度 $f_{Y,V}(y,v)$。 (b) 对 $V$ 积分，求 $Y=X_1/X_2$ 的边际密度并识别分布。
打开 →题目400 · 概率
由卡方变量推导 Fisher F 分布
设 $X \sim \chi^2(m)$，$Y \sim \chi^2(n)$ 独立，$F = (X/m)/(Y/n)$。 (a) 利用变换 $(F,W)=(nX/(mY), Y)$，计算雅可比并推导联合密度。 (b) 对 $W$ 积分得 $F$ 的边际 PDF，验证为 $F(m,n)$ 分布。 (c) 证明 $E[F] = n/(n-2)$（$n>2$）。
打开 →题目3528 · 随机过程
终点上限为 0 时达到 5% 联合尾概率所需的障碍
对标准布朗运动，在 t = 1 内，要使 P(max_{0<=s<=1} W_s >= a, W_1 <= 0) = 0.05，障碍 a 应取多少？
打开 →题目2862 · 概率
联合 MGF 可分解意味着独立
设 \[ M_{X,Y}(s,t)=\exp\!\left(s+2t+\frac{s^2}{2}+2t^2\right). \] 识别 $X$ 与 $Y$ 的边缘分布，并判断它们是否独立。
打开 →题目3529 · 随机过程
达到 10% 联合尾概率所需的终点上限
对标准布朗运动，在 t = 1、障碍 a = 1 的情况下，要使 P(max_{0<=s<=1} W_s >= 1, W_1 <= b) = 0.10，终点上限 b 应取多少？
打开 →题目385 · 概率
Box-Muller 变换：从均匀到独立正态
设 $U_1, U_2$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量，定义 $$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2),\quad Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2).$$ (a) 计算从 $(Z_1,Z_2)$ 到 $(U_1,U_2)$ 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 $Z_1$ 和 $Z_2$ 是独立的 $N(0,1)$ 随机变量。
打开 →题目070 · 概率
两两独立且三元独立但四事件非相互独立
设 $\Omega$ 为所有含偶数个 $1$ 的长度为 $4$ 的二进制串，等概率： $$\Omega = \{0000,\, 0011,\, 0101,\, 0110,\, 1001,\, 1010,\, 1100,\, 1111\}.$$ 定义事件 $A_i = \{\omega \in \Omega : \omega_i = 1\}$，$i=1,2,3,4$。 (a) 证明每个 $P(A_i) = 1/2$。 (b) 验证所有两两独立：对所有 $i \neq j$，$P(A_i \cap A_j) = 1/4$。 (c) 验证所有三元独立：对
打开 →题目242 · 概率
两个独立均匀分布之和的分布
设 $X$ 和 $Y$ 独立，均服从 $\text{Uniform}(0,1)$。定义 $S = X + Y$。 (a) 利用卷积公式 $f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(t) f_Y(s-t) dt$ 推导 $S$ 在所有 $s \in \mathbb{R}$ 上的 PDF。 (b) 画出 PDF 的草图并说明该分布的名称。 (c) 计算 $P(S > 1.5)$。
打开 →题目378 · 概率
两个独立均匀变量之和的分布
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量。利用卷积公式推导 $Z = X + Y$ 的概率密度函数。
打开 →题目384 · 概率
两个独立均匀变量乘积的分布
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量。利用变换 $(W,V)=(XY,\,Y)$，推导 $W = XY$ 的概率密度函数。
打开 →题目232 · 概率
两个独立指数随机变量之和的卷积推导
设 $X_1, X_2$ 独立，均服从 $\text{Exponential}(\lambda)$。利用卷积公式推导 $Y = X_1 + X_2$ 的 PDF，并识别所得分布。
打开 →题目2389 · 数学
为什么按状态平均可能优于粗混合 19
为什么先分状态估计条件均值、再把它们加权平均，可能优于一次粗糙的整体 Monte Carlo？
打开 →题目376 · 概率
均匀随机变量的立方的分布
设 $X \sim \operatorname{Uniform}(0,1)$。利用 CDF 方法推导 $Y = X^3$ 的概率密度函数。
打开 →题目390 · 概率
多元正态的线性变换（矩生成函数法）
设 $\mathbf{X} \sim N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 为 $p$ 维正态随机向量，$\mathbf{A}$ 为 $m \times p$ 常数矩阵。利用矩生成函数证明 $\mathbf{Z} = \mathbf{A}\mathbf{X}$ 服从多元正态分布，并给出其均值向量和协方差矩阵。
打开 →题目059 · 概率
所有三元组独立但四元组不独立
设 $\Omega = \{0, 1, 2, \ldots, 7\}$，等概率 $P(\{\omega\}) = 1/8$。将每个 $\omega$ 写成二进制 $(b_2, b_1, b_0)$。定义事件： $$A = \{\omega : b_0 = 1\}, \quad B = \{\omega : b_1 = 1\}, \quad C = \{\omega : b_2 = 1\}, \quad D = \{\omega : b_0 \oplus b_1 \oplus b_2 = 1\}.$$ (a) 证明 $A$、$B$、$C$ 相互独立。(b)
打开 →题目305 · 概率
独特选择与独特邻居对
$n$ 个人排成一排，每人独立且等概率地从 $\{1, 2, \dots, k\}$ 中选一个整数。若某人选的数没有任何其他人也选，则称该人是「独特的」。 (a) 用示性变量求独特人数的期望 $E[U]$。 (b) 若相邻的两人 $(i, i+1)$ 都是独特的，则称之为一个「独特邻居对」。求独特邻居对数的期望 $E[N]$。
打开 →题目042 · 概率
由后验反推先验
某个假设的先验概率为 p。一个观测信号在该假设下的似然为 3/4，在备择情形下为 1/4。观察到该信号后，后验变为 3/7。求先验 p。
打开 →题目067 · 概率
相同的边缘分布不蕴含独立
三张卡片分别标有 $(0,0)$、$(0,1)$ 和 $(1,0)$。均匀随机抽取一张，$X$ 为第一个数，$Y$ 为第二个数。(a) 求 $P(X=0)$、$P(X=1)$、$P(Y=0)$、$P(Y=1)$。(b) $X$ 和 $Y$ 的边缘分布是否相同？(c) $X$ 和 $Y$ 是否独立？对所有 $(x,y) \in \{0,1\}^2$ 验证 $P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$。
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