模块3.2.3 · 编程 · Python 数据与量化分析
SciPy 与统计工具
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English questions题目398 · 概率
卡方分布的可加性（MGF 证明）
设 $X \sim \chi^2(m)$，$Y \sim \chi^2(n)$ 独立。利用矩生成函数证明 $X+Y \sim \chi^2(m+n)$。
打开 →题目245 · 概率
正态分布的最大熵性质
连续随机变量 $X$（PDF 为 $f$）的微分熵为 $h(X) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ln f(x)\, dx$。 (a) 在所有均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的 $\mathbb{R}$ 上连续分布中，用拉格朗日乘数法说明最大化 $h(X)$ 的 PDF 满足 $\ln f(x) = -1 + \lambda_0 + \lambda_1 x + \lambda_2 x^2$。 (b) 利用三个约束条件确定 $\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2$，证明 $f
打开 →题目065 · 概率
独立分布的混合破坏独立性
一枚均匀硬币：正面朝上时令 $(X, Y) = (1, 1)$；反面朝上时独立地抽取 $X, Y \sim \text{Bernoulli}(1/2)$。(a) 求 $(X, Y)$ 的完整联合分布。(b) 证明 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布相同。(c) $X$ 和 $Y$ 是否独立？证明你的结论。(d) 计算 $P(X = 1 \mid Y = 0)$，并与 $P(X = 1)$ 比较。解释结果。
打开 →题目067 · 概率
相同的边缘分布不蕴含独立
三张卡片分别标有 $(0,0)$、$(0,1)$ 和 $(1,0)$。均匀随机抽取一张，$X$ 为第一个数，$Y$ 为第二个数。(a) 求 $P(X=0)$、$P(X=1)$、$P(Y=0)$、$P(Y=1)$。(b) $X$ 和 $Y$ 的边缘分布是否相同？(c) $X$ 和 $Y$ 是否独立？对所有 $(x,y) \in \{0,1\}^2$ 验证 $P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$。
打开 →题目388 · 概率
Beta 变量的比值变换得到 Beta prime 分布
设 $X \sim \operatorname{Beta}(a,b)$，$a,b>0$。利用换元公式推导 $Y = X/(1-X)$ 的概率密度函数，并识别所得分布。
打开 →题目385 · 概率
Box-Muller 变换：从均匀到独立正态
设 $U_1, U_2$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量，定义 $$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2),\quad Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2).$$ (a) 计算从 $(Z_1,Z_2)$ 到 $(U_1,U_2)$ 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 $Z_1$ 和 $Z_2$ 是独立的 $N(0,1)$ 随机变量。
打开 →题目464 · 概率
Gamma 样本均值对数的 Delta 方法
设 $X_1, \ldots, X_n$ 为 i.i.d. $\mathrm{Gamma}(2,1)$（$E[X_i]=2$，$\mathrm{Var}(X_i)=2$）。定义 $W_n = \ln(\bar{X}_n)$。 **(a)** 用 Delta 方法求 $\sqrt{n}(W_n - \ln 2)$ 的渐近分布。 **(b)** $n = 200$ 时，近似 $P(W_n < 0.6)$。 可使用 $\ln 2 \approx 0.6931$，$\Phi(-1.86) \approx 0.0314$。
打开 →题目396 · 概率
n 个均匀随机变量最大值的分布
设 $X_1,\ldots,X_n \sim \text{iid } \operatorname{Uniform}(0,1)$。推导 $M = \max(X_1,\ldots,X_n)$ 的 CDF 和 PDF。
打开 →课程SciPy 与统计工具 · Python 数据与量化分析
scipy.stats 分布对象与描述性统计
周一上午十点，你坐在一家中型私募的研究台。3.2.2 收尾那张 tear sheet 昨晚跑完了，落到磁盘的中间产物里有一行 returns = (closes['510300.SH'].pct change().dropna()).to numpy() ——一根长度 252 的 np.ndarray ，是沪深300 ETF（510300.SH）在 2024...
打开 →题目441 · 概率
三个相同指数变量的最小值
设 $X_1,X_2,X_3$ 独立，均为 $\operatorname{Exp}(4)$。求 $M = \min(X_1,X_2,X_3)$ 的分布和 $E[M]$。再由无记忆性求 $E[M \mid M > 2]$。
打开 →题目158 · 概率
三人同天生日的碰撞阈值
房间里有 $n$ 人，生日均匀分布在 $\{1,\ldots,365\}$ 上。令 $A$ 为至少三人同天生日的事件。 (a) 利用 Poisson 近似（将每天的人数建模为独立的 $\text{Poisson}(n/365)$ 变量），导出 $P(A)$ 的近似公式。 (b) 在该近似下，求使 $P(A) \ge \frac{1}{2}$ 的最小 $n$。
打开 →题目070 · 概率
两两独立且三元独立但四事件非相互独立
设 $\Omega$ 为所有含偶数个 $1$ 的长度为 $4$ 的二进制串，等概率： $$\Omega = \{0000,\, 0011,\, 0101,\, 0110,\, 1001,\, 1010,\, 1100,\, 1111\}.$$ 定义事件 $A_i = \{\omega \in \Omega : \omega_i = 1\}$，$i=1,2,3,4$。 (a) 证明每个 $P(A_i) = 1/2$。 (b) 验证所有两两独立：对所有 $i \neq j$，$P(A_i \cap A_j) = 1/4$。 (c) 验证所有三元独立：对
打开 →题目425 · 概率
两个最小指数顺序统计量之比
设 $X_1, X_2$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，顺序统计量为 $X_{(1)}\le X_{(2)}$。定义 $U=X_{(1)}/X_{(2)}$。
打开 →题目422 · 概率
两个均匀分布最大值的期望
设 $X_1, X_2$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量。计算 $E[\max(X_1, X_2)]$。
打开 →题目410 · 概率
两个均匀顺序统计量的联合密度与协方差
设 $X_1, \ldots, X_n$ 为 iid $\operatorname{Uniform}(0,1)$。考虑顺序统计量 $X_{(i)}$ 和 $X_{(j)}$，其中 $1 \le i < j \le n$。
打开 →题目448 · 概率
两个指数最小值的阈值超越
设 $X \sim \operatorname{Exp}(2)$，$Y \sim \operatorname{Exp}(3)$ 独立，$M = \min(X,Y)$，阈值 $c=1$。 (i) 求 $P(M>1)$。 (ii) 在 $M>1$ 条件下，求 $E[M-1 \mid M>1]$ 和 $P(X<Y \mid M>1)$。
打开 →题目379 · 概率
两个指数变量最大值的分布与期望
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，令 $M = \max(X,Y)$。 (a) 推导 $M$ 的概率密度函数。 (b) 计算 $E[M]$。
打开 →题目6005 · 概率
两个时刻之间的空区间
警报以速率每小时 6 次的泊松过程触发。从第 10 分钟到第 25 分钟（一个从中途开始、长 15 分钟的区间）内零次警报的概率是多少？结果保留三位小数。
打开 →题目2022 · 数学
两个杠杆状态下的资金缓冲差距 2
杠杆可能非常低，也可能相当高，交易台希望精确算出 Jensen gap。 某个资金缓冲模型使用 phi(L)=1/(1+L)。设 L 以概率 1/2、1/2 取值 0、3。计算 E[phi(L)] 和 phi(E[L])。
打开 →题目393 · 概率
两个标准正态平方和的分布
设 $X_1, X_2 \sim \text{iid } N(0,1)$，$R = X_1^2 + X_2^2$。 (a) 利用极坐标推导 $(R, \Theta)$ 的联合密度。 (b) 对 $\Theta$ 积分，求 $R$ 的密度并识别其分布。
打开 →题目242 · 概率
两个独立均匀分布之和的分布
设 $X$ 和 $Y$ 独立，均服从 $\text{Uniform}(0,1)$。定义 $S = X + Y$。 (a) 利用卷积公式 $f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(t) f_Y(s-t) dt$ 推导 $S$ 在所有 $s \in \mathbb{R}$ 上的 PDF。 (b) 画出 PDF 的草图并说明该分布的名称。 (c) 计算 $P(S > 1.5)$。
打开 →题目378 · 概率
两个独立均匀变量之和的分布
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量。利用卷积公式推导 $Z = X + Y$ 的概率密度函数。
打开 →题目384 · 概率
两个独立均匀变量乘积的分布
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量。利用变换 $(W,V)=(XY,\,Y)$，推导 $W = XY$ 的概率密度函数。
打开 →题目380 · 概率
两个独立指数变量之比的分布
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，令 $R = X/Y$。 (a) 利用变换 $(R,S) = (X/Y,\,Y)$，通过雅可比行列式求 $f_{R,S}$，再对 $S$ 积分得到 $R$ 的 PDF。 (b) 将 $f_R$ 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 $P(R \le 1)$。
打开 →题目232 · 概率
两个独立指数随机变量之和的卷积推导
设 $X_1, X_2$ 独立，均服从 $\text{Exponential}(\lambda)$。利用卷积公式推导 $Y = X_1 + X_2$ 的 PDF，并识别所得分布。
打开 →题目239 · 概率
两个独立标准正态之比服从柯西分布
设 $Z_1, Z_2$ 独立，均服从 $N(0,1)$。定义 $R = Z_1/Z_2$。 (a) 写出 $(Z_1, Z_2)$ 的联合 PDF，利用变换 $(Z_1, Z_2) \mapsto (R, Z_2) = (Z_1/Z_2,\, Z_2)$ 推导 $(R, Z_2)$ 的联合 PDF。 (b) 对 $Z_2$ 积分，得到 $R$ 的边际 PDF。 (c) 辨认 $R$ 的分布。
打开 →题目222 · 概率
两个独立泊松随机变量的卷积
设 $X \sim \text{Poisson}(2)$，$Y \sim \text{Poisson}(3)$，且 $X$、$Y$ 独立。 (a) 用卷积公式 $P(X+Y=k)=\sum_{j=0}^{k} P(X=j)P(Y=k-j)$ 计算 $P(X+Y=3)$。 (b) 利用 $X+Y \sim \text{Poisson}(5)$ 验证你的答案。 (c) 计算 $P(X=1 \mid X+Y=3)$。
打开 →题目5944 · 概率
两种不等概率奖品
每盒麦片含一份奖品：普通奖品概率为 $2/3$，稀有奖品概率为 $1/3$，各盒相互独立。要同时集齐两种奖品，期望需要拆开多少盒？
打开 →题目2024 · 数学
两种切片情景下的平方根冲击差距 4
子订单规模 V 以 1/2 的概率为 0，以 1/2 的概率为 3。计算 E[sqrt(1+V)] 与 sqrt(1+E[V])。
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