GLOBAL SEARCH

搜索课程、模块、题目与收藏题单

搜索在服务端完成，题目解析与答案不会进入搜索结果。登录后可搜索自己的收藏题单。

全部 · 4546课程 · 299模块 · 72题目 · 4169帮助 · 6收藏题单 · 0

找到 30 个结果

English questions
题目245 · 概率

正态分布的最大熵性质

连续随机变量 $X$（PDF 为 $f$）的微分熵为 $h(X) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ln f(x)\, dx$。 (a) 在所有均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的 $\mathbb{R}$ 上连续分布中，用拉格朗日乘数法说明最大化 $h(X)$ 的 PDF 满足 $\ln f(x) = -1 + \lambda_0 + \lambda_1 x + \lambda_2 x^2$。 (b) 利用三个约束条件确定 $\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2$，证明 $f

打开 →
题目065 · 概率

独立分布的混合破坏独立性

一枚均匀硬币：正面朝上时令 $(X, Y) = (1, 1)$；反面朝上时独立地抽取 $X, Y \sim \text{Bernoulli}(1/2)$。(a) 求 $(X, Y)$ 的完整联合分布。(b) 证明 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布相同。(c) $X$ 和 $Y$ 是否独立？证明你的结论。(d) 计算 $P(X = 1 \mid Y = 0)$，并与 $P(X = 1)$ 比较。解释结果。

打开 →
题目067 · 概率

相同的边缘分布不蕴含独立

三张卡片分别标有 $(0,0)$、$(0,1)$ 和 $(1,0)$。均匀随机抽取一张，$X$ 为第一个数，$Y$ 为第二个数。(a) 求 $P(X=0)$、$P(X=1)$、$P(Y=0)$、$P(Y=1)$。(b) $X$ 和 $Y$ 的边缘分布是否相同？(c) $X$ 和 $Y$ 是否独立？对所有 $(x,y) \in \{0,1\}^2$ 验证 $P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$。

打开 →
题目385 · 概率

Box-Muller 变换：从均匀到独立正态

设 $U_1, U_2$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量，定义 $$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2),\quad Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2).$$ (a) 计算从 $(Z_1,Z_2)$ 到 $(U_1,U_2)$ 逆变换的雅可比行列式。 (b) 证明 $Z_1$ 和 $Z_2$ 是独立的 $N(0,1)$ 随机变量。

打开 →
题目464 · 概率

Gamma 样本均值对数的 Delta 方法

设 $X_1, \ldots, X_n$ 为 i.i.d. $\mathrm{Gamma}(2,1)$（$E[X_i]=2$，$\mathrm{Var}(X_i)=2$）。定义 $W_n = \ln(\bar{X}_n)$。 **(a)** 用 Delta 方法求 $\sqrt{n}(W_n - \ln 2)$ 的渐近分布。 **(b)** $n = 200$ 时，近似 $P(W_n < 0.6)$。 可使用 $\ln 2 \approx 0.6931$，$\Phi(-1.86) \approx 0.0314$。

打开 →
题目158 · 概率

三人同天生日的碰撞阈值

房间里有 $n$ 人，生日均匀分布在 $\{1,\ldots,365\}$ 上。令 $A$ 为至少三人同天生日的事件。 (a) 利用 Poisson 近似（将每天的人数建模为独立的 $\text{Poisson}(n/365)$ 变量），导出 $P(A)$ 的近似公式。 (b) 在该近似下，求使 $P(A) \ge \frac{1}{2}$ 的最小 $n$。

打开 →
题目070 · 概率

两两独立且三元独立但四事件非相互独立

设 $\Omega$ 为所有含偶数个 $1$ 的长度为 $4$ 的二进制串，等概率： $$\Omega = \{0000,\, 0011,\, 0101,\, 0110,\, 1001,\, 1010,\, 1100,\, 1111\}.$$ 定义事件 $A_i = \{\omega \in \Omega : \omega_i = 1\}$，$i=1,2,3,4$。 (a) 证明每个 $P(A_i) = 1/2$。 (b) 验证所有两两独立：对所有 $i \neq j$，$P(A_i \cap A_j) = 1/4$。 (c) 验证所有三元独立：对

打开 →
题目448 · 概率

两个指数最小值的阈值超越

设 $X \sim \operatorname{Exp}(2)$，$Y \sim \operatorname{Exp}(3)$ 独立，$M = \min(X,Y)$，阈值 $c=1$。 (i) 求 $P(M>1)$。 (ii) 在 $M>1$ 条件下，求 $E[M-1 \mid M>1]$ 和 $P(X<Y \mid M>1)$。

打开 →
题目6005 · 概率

两个时刻之间的空区间

警报以速率每小时 6 次的泊松过程触发。从第 10 分钟到第 25 分钟（一个从中途开始、长 15 分钟的区间）内零次警报的概率是多少？结果保留三位小数。

打开 →
题目2022 · 数学

两个杠杆状态下的资金缓冲差距 2

杠杆可能非常低，也可能相当高，交易台希望精确算出 Jensen gap。 某个资金缓冲模型使用 phi(L)=1/(1+L)。设 L 以概率 1/2、1/2 取值 0、3。计算 E[phi(L)] 和 phi(E[L])。

打开 →
题目393 · 概率

两个标准正态平方和的分布

设 $X_1, X_2 \sim \text{iid } N(0,1)$，$R = X_1^2 + X_2^2$。 (a) 利用极坐标推导 $(R, \Theta)$ 的联合密度。 (b) 对 $\Theta$ 积分，求 $R$ 的密度并识别其分布。

打开 →
题目242 · 概率

两个独立均匀分布之和的分布

设 $X$ 和 $Y$ 独立，均服从 $\text{Uniform}(0,1)$。定义 $S = X + Y$。 (a) 利用卷积公式 $f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(t) f_Y(s-t) dt$ 推导 $S$ 在所有 $s \in \mathbb{R}$ 上的 PDF。 (b) 画出 PDF 的草图并说明该分布的名称。 (c) 计算 $P(S > 1.5)$。

打开 →
题目380 · 概率

两个独立指数变量之比的分布

设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，令 $R = X/Y$。 (a) 利用变换 $(R,S) = (X/Y,\,Y)$，通过雅可比行列式求 $f_{R,S}$，再对 $S$ 积分得到 $R$ 的 PDF。 (b) 将 $f_R$ 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 $P(R \le 1)$。

打开 →
题目239 · 概率

两个独立标准正态之比服从柯西分布

设 $Z_1, Z_2$ 独立，均服从 $N(0,1)$。定义 $R = Z_1/Z_2$。 (a) 写出 $(Z_1, Z_2)$ 的联合 PDF，利用变换 $(Z_1, Z_2) \mapsto (R, Z_2) = (Z_1/Z_2,\, Z_2)$ 推导 $(R, Z_2)$ 的联合 PDF。 (b) 对 $Z_2$ 积分，得到 $R$ 的边际 PDF。 (c) 辨认 $R$ 的分布。

打开 →
题目222 · 概率

两个独立泊松随机变量的卷积

设 $X \sim \text{Poisson}(2)$，$Y \sim \text{Poisson}(3)$，且 $X$、$Y$ 独立。 (a) 用卷积公式 $P(X+Y=k)=\sum_{j=0}^{k} P(X=j)P(Y=k-j)$ 计算 $P(X+Y=3)$。 (b) 利用 $X+Y \sim \text{Poisson}(5)$ 验证你的答案。 (c) 计算 $P(X=1 \mid X+Y=3)$。

打开 →
题目5944 · 概率

两种不等概率奖品

每盒麦片含一份奖品：普通奖品概率为 $2/3$，稀有奖品概率为 $1/3$，各盒相互独立。要同时集齐两种奖品，期望需要拆开多少盒？

打开 →
题目443 · 概率

串联系统更换成本

机器有两个串联关键组件：A 寿命 $\operatorname{Exp}(3)$，B 寿命 $\operatorname{Exp}(5)$，独立。任一失效则机器停止，更换失效组件（A 费 $20$，B 费 $50$），两组件均重新开始。求长期单位时间期望更换成本。

打开 →