题目062 · 概率
三重乘积成立不意味着两两独立
设 $\Omega = \{1,2,\ldots,8\}$，等概率。定义事件： $$A = \{1,2,3,4\}, \quad B = \{1,2,3,5\}, \quad C = \{1,4,6,7\}.$$ (a) 证明 $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$。(b) 检验每一对 $(A,B)$、$(A,C)$、$(B,C)$ 是否独立。(c) 这对三重乘积条件和两两独立之间的关系说明了什么？
打开 →找到 30 个结果
English questions题目060 · 概率
与布尔组合的独立性需要相互独立
设 $A$、$B$、$C$ 为事件。(a) 证明：若 $A$、$B$、$C$ 相互独立，则 $A$ 与 $B \cap C^c$ 独立。(b) 设 $\Omega = \{1,2,3,4\}$，等概率，$A = \{1,2\}$，$B = \{1,3\}$，$C = \{1,4\}$。验证 $A$、$B$、$C$ 两两独立但非相互独立。(c) 计算 $P(A \cap (B \cap C^c))$ 和 $P(A) \cdot P(B \cap C^c)$。$A \perp\!\!\perp (B \cap C^c)$ 是否成立？
打开 →题目069 · 概率
与自身独立的事件必为平凡事件
设 $A$ 为概率空间中的事件。(a) 写出独立性条件 $P(A \cap A) = P(A) \cdot P(A)$，推导满足条件的 $P(A)$ 值。(b) 在 $\Omega = \{1,2,3,4\}$（等概率）上，分别对 $A = \{1\}$、$A = \{1,2\}$、$A = \emptyset$、$A = \Omega$ 验证你的结论。(c) 从概率意义上解释：一个事件与自身独立意味着什么？
打开 →题目070 · 概率
两两独立且三元独立但四事件非相互独立
设 $\Omega$ 为所有含偶数个 $1$ 的长度为 $4$ 的二进制串，等概率： $$\Omega = \{0000,\, 0011,\, 0101,\, 0110,\, 1001,\, 1010,\, 1100,\, 1111\}.$$ 定义事件 $A_i = \{\omega \in \Omega : \omega_i = 1\}$，$i=1,2,3,4$。 (a) 证明每个 $P(A_i) = 1/2$。 (b) 验证所有两两独立：对所有 $i \neq j$，$P(A_i \cap A_j) = 1/4$。 (c) 验证所有三元独立：对
打开 →题目052 · 概率
两两独立但非相互独立
设样本空间 $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$，等概率 $P(\{i\}) = 1/4$。定义 $A = \{1, 2\}$，$B = \{1, 3\}$，$C = \{1, 4\}$。证明 $A$、$B$、$C$ 两两独立但非相互独立。
打开 →题目058 · 概率
异或构造：两两独立但非相互独立
设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\text{Bernoulli}(1/2)$ 随机变量。定义 $Z = X \oplus Y$（模 2 加法）。(a) 证明 $Z \sim \text{Bernoulli}(1/2)$。(b) 证明 $\{X, Y, Z\}$ 中任意两个随机变量相互独立。(c) $X$、$Y$、$Z$ 是否相互独立？给出违反相互独立条件的具体联合事件。
打开 →题目073 · 概率
整除事件与包含陷阱
设 $\Omega = \{0,1,\ldots,11\}$，等概率。$A$ = 偶数，$B$ = 3 的倍数，$C$ = 4 的倍数。(a) 列出各事件并求概率。(b) 对三对 $(A,B)$、$(A,C)$、$(B,C)$ 分别判断独立性。(c) 解释失败的原因。
打开 →题目054 · 概率
条件独立在边际化下失效
随机选一枚硬币：以概率 $1/2$ 选到公平硬币（$p = 1/2$），以概率 $1/2$ 选到偏硬币（$p = 1$，总是正面）。设 $A$ 为第一次掷出正面，$B$ 为第二次掷出正面。证明给定硬币类型 $C$ 时 $A$ 和 $B$ 条件独立，但 $A$ 和 $B$ 并非边际独立。计算 $P(B \mid A)$。
打开 →题目074 · 概率
校验位破坏四阶独立性
设 $\Omega = \{0,\ldots,15\}$（4位二进制串），等概率。定义 $A_i = \{b_i = 1\}$（$i=1,2,3$），$A_4 = \{b_1 \oplus b_2 \oplus b_3 = 1\}$。(a) 证明每个 $P(A_i) = 1/2$。(b) 证明 $\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$ 是 3-wise 独立的。(c) 计算 $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)$，说明 4-wise 独立性失败。(d) 解释校验位为何在结构上受限于 $A_1,A_2,A_3$。
打开 →题目214 · 概率
泊松稀释与分流独立性
设 $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$。每个事件独立地以概率 $p$ 被分为第1类，以概率 $1-p$ 被分为第2类。令 $N_1, N_2$ 分别为两类事件的计数。 (a) 推导 $N_1$ 的边际分布。 (b) 推导联合 PMF $P(N_1 = j, N_2 = k)$，并证明 $N_1$ 与 $N_2$ 独立。 (c) 某网站每小时页面浏览量为 $\lambda = 200$。每位访客独立地以概率 $p = 0.03$ 转化（购买）。求一小时内恰好有4次转化的概率，以及在总浏览量不超过210的条件下至少有1次转
打开 →题目065 · 概率
独立分布的混合破坏独立性
一枚均匀硬币：正面朝上时令 $(X, Y) = (1, 1)$；反面朝上时独立地抽取 $X, Y \sim \text{Bernoulli}(1/2)$。(a) 求 $(X, Y)$ 的完整联合分布。(b) 证明 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布相同。(c) $X$ 和 $Y$ 是否独立？证明你的结论。(d) 计算 $P(X = 1 \mid Y = 0)$，并与 $P(X = 1)$ 比较。解释结果。
打开 →题目057 · 概率
独立性不具有传递性
设 $\Omega = \{1,2,3,4\}$，等概率。定义 $A = \{1,2\}$，$B = \{1,3\}$，$C = \{3,4\}$。(a) 验证 $A$ 与 $B$ 独立。(b) 验证 $B$ 与 $C$ 独立。(c) $A$ 与 $C$ 是否独立？这对独立性的传递性说明了什么？
打开 →题目064 · 概率
独立性在并集下不封闭
设 $A$、$B$、$C$ 为事件，$A \perp\!\!\perp B$ 且 $A \perp\!\!\perp C$。(a) 证明：若 $A$、$B$、$C$ 相互独立，则 $A \perp\!\!\perp (B \cup C)$。(b) 设 $\Omega = \{1,2,3,4\}$，等概率，$A = \{1,2\}$，$B = \{1,3\}$，$C = \{1,4\}$。验证 $A \perp\!\!\perp B$ 且 $A \perp\!\!\perp C$。(c) 证明 $A$ 与 $B \cup C$ 不独立。为什么两两独立不够？
打开 →题目071 · 概率
独立性在样本空间扰动下是脆弱的
四张牌 $A\spadesuit$, $A\heartsuit$, $K\spadesuit$, $K\heartsuit$，均匀随机抽取一张。$R$ =「抽到 Ace」，$S$ =「抽到黑桃」。(a) 验证 $R$ 与 $S$ 独立。(b) 移除 $K\heartsuit$，在三张牌上重新判断 $R$ 与 $S$ 是否独立。(c) 直观解释为何移除一张牌破坏了独立性。
打开 →题目068 · 概率
独立性对子事件不遗传
设 $\Omega = \{1,2,3,4\}$，等概率。$A = \{1,2\}$，$B = \{1,3\}$。(a) 验证 $A$ 和 $B$ 独立。(b) 设 $A_1 = \{1\} \subseteq A$，判断 $A_1$ 和 $B$ 是否独立。(c) 一般地，若 $A \perp\!\!\perp B$ 且 $A_1 \subseteq A$，$A_1 \perp\!\!\perp B$ 是否必然成立？
打开 →题目067 · 概率
相同的边缘分布不蕴含独立
三张卡片分别标有 $(0,0)$、$(0,1)$ 和 $(1,0)$。均匀随机抽取一张，$X$ 为第一个数，$Y$ 为第二个数。(a) 求 $P(X=0)$、$P(X=1)$、$P(Y=0)$、$P(Y=1)$。(b) $X$ 和 $Y$ 的边缘分布是否相同？(c) $X$ 和 $Y$ 是否独立？对所有 $(x,y) \in \{0,1\}^2$ 验证 $P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$。
打开 →题目2862 · 概率
联合 MGF 可分解意味着独立
设 \[ M_{X,Y}(s,t)=\exp\!\left(s+2t+\frac{s^2}{2}+2t^2\right). \] 识别 $X$ 与 $Y$ 的边缘分布，并判断它们是否独立。
打开 →题目072 · 概率
覆盖样本空间的独立事件
设 $A$ 和 $B$ 独立且 $P(A \cup B) = 1$。(a) 证明 $(1 - P(A))(1 - P(B)) = 0$。(b) 这对 $P(A)$ 和 $P(B)$ 有何限制？(c) 在 $\Omega = \{1,2,3,4\}$ 均匀概率下，给出满足条件的 $A$、$B$ 并验证。
打开 →题目075 · 概率
随机排列的不动点不是独立的
从 $\{1,2,3,4\}$ 的全排列中等概率选取 $\sigma$。定义 $A_i = \{\sigma(i) = i\}$。(a) 证明 $P(A_i) = 1/4$，$P(A_i \cap A_j) = 1/12$。(b) $A_i$ 与 $A_j$ 是否独立？(c) 计算三元和四元交集概率。(d) 验证容斥恒等式 $P(\bigcup A_i) = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4!$。
打开 →题目066 · 概率
零概率事件与所有事件独立
设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 为概率空间，$P(A) = 0$。(a) 证明 $A$ 与每个事件 $B \in \mathcal{F}$ 独立。(b) 设 $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$，等概率，$A = \emptyset$，$B = \{1,2,3\}$。直接验证独立性条件。(c) $P(A) = 1$ 时结论是否成立？证明或给出反例。
打开 →题目053 · 概率
零相关不意味着独立
设 $X$ 均匀分布于 $\{-1, 0, 1\}$。定义 $Y = X^2$。计算 $\text{Cov}(X, Y)$ 并判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立。
打开 →题目051 · 概率
骰子事件的独立性验证
掷两枚公平六面骰子。定义事件 $A = \{\text{点数之和为 } 7\}$，$B = \{\text{第一枚骰子为偶数}\}$。$A$ 和 $B$ 是否独立？请通过计算 $P(A)$、$P(B)$ 和 $P(A \cap B)$ 来证明你的结论。
打开 →题目2936 · 概率
k 个祖先下的灭绝概率
若从单个祖先开始的灭绝概率为 $q$，那么从 $k$ 个相互独立的祖先开始时的灭绝概率是多少？
打开 →题目2928 · 概率
三个独立祖先下的灭绝概率
若一个以单个祖先开始的分枝过程的灭绝概率为 $q=2/3$，那么当它改为从三个独立祖先开始时，至少有一条谱系永远存活的概率是多少？
打开 →题目365 · 概率
三层正态层级模型：迭代塔性质与平滑
三层正态层级：$Z \sim N(0,1)$，$Y \mid Z \sim N(Z,1)$，$X \mid Y \sim N(Y,1)$。 (a) 利用迭代期望求 $E[X]$ 和 $\operatorname{Var}(X)$。 (b) 利用塔性质 $E[X \mid Z] = E[E[X \mid Y] \mid Z]$ 求 $E[X \mid Z]$。 (c) 通过计算 $\operatorname{Cov}(X,Z)$ 并利用联合正态性验证 (b) 的结果。
打开 →题目2964 · 概率
与原点构成的矩形面积期望
随机点 $(X,Y)$ 在单位正方形内均匀分布。考虑以 $(0,0)$ 和 $(X,Y)$ 为对角顶点的轴对齐矩形。该矩形面积的期望是多少？
打开 →题目425 · 概率
两个最小指数顺序统计量之比
设 $X_1, X_2$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，顺序统计量为 $X_{(1)}\le X_{(2)}$。定义 $U=X_{(1)}/X_{(2)}$。
打开 →题目2961 · 概率
两个坐标差都小于 1/2 的概率
从单位正方形中独立均匀抽取两个随机点。求这两个点同时满足 \[ |X_1-X_2|<\frac12,\qquad |Y_1-Y_2|<\frac12 \] 的概率。
打开 →题目6005 · 概率
两个时刻之间的空区间
警报以速率每小时 6 次的泊松过程触发。从第 10 分钟到第 25 分钟（一个从中途开始、长 15 分钟的区间）内零次警报的概率是多少？结果保留三位小数。
打开 →题目338 · 概率
两个独立均匀变量之积的方差
设 $X$ 和 $Y$ 独立，均服从 $[0,1]$ 上的均匀分布。求 $\operatorname{Var}(XY)$。
打开 →